المثالية الأولية

Prime ideal

تعريف: إذا كانت R حلقة نقول أن المثالية P مثالية أولية إذا كانت $P \ne R$ ولكل مثاليتين A و B من R فإن

$AB \subset P \Rightarrow A \subset P\quad \vee \quad B \subset P$

خاصية 1: إذا كانت P مثالية في حلقة R تحقق أن $P \ne R$ فإن

1) إذا كان لكل $a,b \in R$

$ab \in P\quad\Rightarrow\quad a \in P\quad\vee\quad b \in P\quad\cdots \left( 1 \right)$

فإن P مثالية أولية .

2) إذا كانت P مثالية أولية و R حلقة إبدالية ، فإن P تحقق الشرط 1

البرهان: 1) إذا كانت A و B مثاليتين تحققان أن $AB \subset P$ و $A \not\subset P$ ، فإنه يوجد عنصر $a \in A - P$ ، ولكن لكل $b \in B$ لدينا $ab \in AB \subset P$ إذن $a \in P$ أو $b \in P$ وحيث أن $a \notin P$ نجد أن $b \in P\quad ,\forall b \in B$ أي أن $B \subset P$ وهذا يثبت أن P مثالية أولية .

2) لتكن P مثالية أولية في الحلقة الإبدالية R ولتكن $ab \in P$ إذن $\left\langle {ab} \right\rangle\subset P$ .
وحيث أن R إبدالية فإن $\left\langle a \right\rangle \left\langle b \right\rangle\subset \left\langle {ab} \right\rangle\subset P$ ولكن P مثالية أولية فإما $a \in \left\langle a \right\rangle\subset P$ أو $b \in \left\langle b \right\rangle\subset P$ إي أن P تحقق الشرط 1.

خاصية2 : لتكن Rحلقة إبدالية ذات عنصر محايد $1_R\ne 0$ فإن

المثالية P تكون إولية إذا وفقط إذا كانت الحلقة ${R\mathord{\left/{\vphantom{R P}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}P}$ منطقة صحيحة ( مجال تكاملي) .

برهان: نلاحظ أن ${R\mathord{\left/{\vphantom{R P}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}P}$ حلقة إبدالية ذات عنصر محايد هو $1_R+ P$
.
( $\Leftarrow$ ) بما أن P مثالية أولية فإن $1_R+P \ne P= 0_{{R \mathord{\left/{\vphantom{R P}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}P}}$ لأن $P \ne R$ ، بالإضافة إلى ذلك ${R\mathord{\left/{\vphantom{R P}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}P}$ لا يوجد فيها قواسم صفرية لأن

$\begin{array}{l}\left( {a + P} \right)\left( {b + P} \right) = P \Rightarrow ab + P = P \\ \Rightarrow ab \in P\Rightarrow a \in P\quad\vee \quad b \in P \\ \Rightarrow a + P= P\quad\vee\quad b+ P=P\\\end{array}$

أي أن ${R\mathord{\left/{\vphantom{R P}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}P}$ منطقة صحيحة.

( $\Rightarrow$ ) بما أن ${R\mathord{\left/{\vphantom{R P}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}P}$ منطقة صحيحة فإن $1_R+ P \ne 0 + P$ أي أن $1_R\notin P$ ومنها $P\ne R$ ، وحيث أن ${R\mathord{\left/{\vphantom{R P}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}P}$ لا يوجد فيها قواسم صفرية

$ab \in P \Rightarrow ab+P=P \Rightarrow \left( {a +P} \right)\left( {b + P} \right) = P$
$a + P = P\quad\vee \quad b+ P= P \Rightarrow a \in P\quad\vee \quad b \in P$

أي أن P مثالية أولية .

(الموضوع تحت الإنشاء)

المراجع:

Thomas W. Hungerford,Algebra

بداية جيدة :)

قدم بواسطة علي في جمعة, 09/12/2008 - 14:36

رد

علِّق

التعليق: *

Every instance heading tags will be modified to include an id attribute for anchor linking.
Every instance of "" in the input text will be replaced with a collapsible mediawiki-style table of contents. Accepts options for title, list style, minimum heading level, and maximum heading level as follows: . All arguments are optional and defaults are shown.
LaTeX formulas are automatically converted into images.
وسوم html المسموح بها: <a> <i> <p> <b> <em> <center> <strong> <cite> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <div> <dir> <span> <style> <br> <br /> <blockquote> <h1> <h2> <h3> <h4> <h5> <h6> <hr> <img> <sub> <sup> <table> <tbody> <tfoot> <th> <thead> <tr> <td> <dd>
بإمكانك استخدام وسوم BBCode في النصوص URLs will automatically be converted to links.
تتحول مسارات مواقع وب و عناوين البريد الإلكتروني إلى روابط آليا.
Use [fn]...[/fn] (or <fn>...</fn>) to insert automatically numbered footnotes.
Use [# ...] to insert automatically numbered footnotes. Textile variant.
Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically. (Better URL filter.)
Link to content with [[some text]], where "some text" is the title of existing content or the title of a new piece of content to create. You can also link text to a different title by using [[link to this title|show this text]]. Link to outside URLs with [[http://www.example.com|some text]], or even [[http://www.example.com]].
Glossary terms will be automatically marked with links to their descriptions. If there are certain phrases or sections of text that should be excluded from glossary marking and linking, use the special markup, [no-glossary] ... [/no-glossary]. Additionally, these HTML elements will not be scanned: a, abbr, acronym, code, pre.
Images can be added to this post.

معلومات أكثر عن خيارات التنسيق

كلمة التحقق

This question is for testing whether you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.