المثالية الرئيسية

Principal Ideal

جدول المحتويات [اخفاء]

تعريف المثالية المولدة بواسطة مجموعة جزئية
توصيف عناصر مثالية رئيسية
المثالية الرئيسية اليمنى (اليسرى) في حلقة ذات محايد
توصيف عناصر مثالية مولدة بواسطة مجموعة A
توصيف عناصر مثالية ذات مولدات منتهية
المراجع

تعريف المثالية المولدة بواسطة مجموعة جزئية

لتكن R حلقة و $A \subset R$ مجموعة غير خالية و $\{ I_j :A \subset I_j \}$ عائلة جميع المثاليات (المثاليات اليسرى) في R عندئذ فإن $\cap I_j$ تسمى المثالية (المثالية اليسرى) المولدة بواسطة A ويرمز لها $(A)$ .

إذا كانت $A = \{ x_1 ,x_2 , \ldots ,x_k \}$ مجموعة منتهية فإننا نقول أن $(A)$ مثالية (مثالية يسرى) ذات مولدات منتهيةfinitely generated Ideal ونكتب

$(A) = (x_1 ,x_2 , \ldots ,x_k )$

المثالية (المثالية اليسرى) $(x)$ المولدة بواسطة عنصر واحد $x \in R$ تسمى مثالية رئيسية principal ideal (مثالية رئيسية يسرى left principal ideal).

بطريقة مشابهة تعرف المثالية اليمنى المولدة بواسطة مجموعة $A \subset R$ .

توصيف عناصر مثالية رئيسية

المبرهنة^[م] التالية تعطي الطريقة التي نعبر بها عن عنصر اختياري من مثالية رئيسية $(x)$ وذلك حسب الخواص الإضافية التي تحققها الحلقة R. نترك التحقق من جميع هذه التعابير للقارئ.

مبرهنة: إذا كانت R حلقة و $x \in R$ وكانت $(x)$ مثالية أساسية فإن:

1) المثالية $(x)$ تكتب بوصف عناصرها بالشكل التالي

$(x) = \left\{ {rx + xs + nx + \sum\limits_{i = 1}^m {a_i xb_i \,:} \,\;r,s,a_i ,b_i \in R,\;\,n \in \mathbb{Z}\,,\,m \in \mathbb{Z}^ + } \right\}$

2) إذا كانت R ذات محايد فإن

$(x) = \left\{ {\sum\limits_{i = 1}^m {a_i xb_i \,:} \,a_i ,b_i \in R,\,\,m \in \mathbb{Z}^ + } \right\}$

3) إذا كان x في مركز R أي $ax = xa$ لكل $a \in R$ (على وجه خاص إذا كانت R إبدالية) فإن

$(x) = \left\{ {ax + nx:\,a \in R,\,\,n \in \mathbb{Z}} \right\}$

4) إذا كانت R ذات محايد وكان x في مركز R (على وجه خاص إذا كانت R إبدالية ذات محايد) فإن

$(x) = \left\{ {ax:\,a \in R} \right\} = Rx$

حقيقة: إذا كان a,b تنتمي لحلقة إبدالية R فإن

$(a)(b) \subset (ab)$

البرهان:

كما نعلم الضرب AB لمثاليتين A,B عبارة عن كل المجاميع المنتهية من الشكل $\Sigma ab$ حيث $a \in A$ و $b \in B$ . بالاعتماد على هذا وعلى التوصيف الخاص بالمثاليات الرئيسية في الحلقة الإبدالية المبين في المبرهنة أعلاه فإن كل عنصر في $(a)(b)$ عبارة عن مجموع منتهي من الشكل

$\Sigma (ra + na)(sb + mb) = \Sigma (rs + mr + ns)ab + (nm)ab \in (ab)$

حيث $m,n \in \mathbb{Z}$ و $r,s \in R$ . إذا $(a)(b) \subset (ab)$ .

المثالية الرئيسية اليمنى (اليسرى) في حلقة ذات محايد

إذا كانت R حلقة ذات محايد و a عنصر من R فإن

$aR = \{ ar:r \in R\}$

مثالية رئيسية يمنى مولدة بواسطة a لأنها تحوي a بسبب أن $a = 1a$ كما أن أي مثالية يمنى I تحوي a فإنها تحوي كل العناصر من الشكل $ar$ حيث $r \in R$ بمعنى $aR \subset I$ .

بالمناسبة إذا كانت R ليس لها محايد فإنه برغم أن $aR$ ستكون في هذه الحالة مثالية يمنى ولكنها قد لا تحتوي على a وليس بالضرورة أن تكون مثالية رئيسية يمنى.

بنفس النقاش, إذا كانت R حلقة ذات محايد و a عنصر من R فإن

$Ra = \{ ra:r \in R\}$

مثالية رئيسية يسرى مولدة بواسطة a .

إذا لم تكن R ذات محايد فليس بالضرورة أن تكون المثالية اليسرى $Ra$ رئيسية.

توصيف عناصر مثالية مولدة بواسطة مجموعة A

إذا كانت R حلقة ذات محايد و A مجموعة جزئية من مركز R (على وجه خاص إذا كانت R إبدالية ذات محايد) فإن المثالية $(A)$ لها الشكل

$(A) = \left\{ {\sum\limits_{i = 1}^m {a_i r_i \,:} \,\;a_i \in R,\;\,r_i \in R\,,\,m \in \mathbb{Z}^ + } \right\}$

توصيف عناصر مثالية ذات مولدات منتهية

إذا كانت R حلقة إبدالية ذات محايد و $A = \{ x_1 ,x_2 , \ldots ,x_k \}$ فإن المثالية ذات المولدات المنتهية المولدة بالمجموعة A هي

$(x_1 ,x_2 , \ldots ,x_k ) = \{ r_1 x_1 + r_2 x_2 + \ldots + r_k x_k :r_i \in R,\,\,1 \leqslant i \leqslant k\}$

إذا كانت R غير إبدالية فإن هذه المجموعة تشكل مثالية يسرى مولدة بالمجموعة A.

المراجع

أ.د فالح بن عمران الدوسري, مقدمة في نظرية^[م] الحلقات

ب. هارتلي, ت. هاوكس, الحلقات, الحلقيات والجبر الخطي, ترجمة د. يوسف بن عبد الله الخميس, د. أحمد حميد شراري, جامعة الملك سعود , النشر العلمي والمطابع

Thomas W. Hungerford, ALGEBRA, Springer-Verlag.
I. N. Herstein, Topics in Algebra, John Wiley & Sons.
John R. Durbin, Modern Algebra: An Introduction, John Wiley & Sons.

http://en.wikipedia.org/wiki/Principal_ideal

http://planetmath.org/encyclopedia/PrincipalIdeal.html

نبذة عن كاتب الموضوع

$User picture$

الإسم: محترف

عضو مؤسس في شبكة الرياضيات رمز.

علِّق

التعليق: *

Every instance heading tags will be modified to include an id attribute for anchor linking.
Every instance of "" in the input text will be replaced with a collapsible mediawiki-style table of contents. Accepts options for title, list style, minimum heading level, and maximum heading level as follows: . All arguments are optional and defaults are shown.
وسوم html المسموح بها: <a> <i> <p> <b> <center> <em> <strong> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <div> <dir> <span> <br> <br /> <blockquote> <h1> <h2> <h3> <h4> <h5> <h6> <hr> <img> <sub> <sup> <table> <tbody> <thead> <tr> <td>
LaTeX formulas are automatically converted into images.
تتحول مسارات مواقع وب و عناوين البريد الإلكتروني إلى روابط آليا.
Use [fn]...[/fn] (or <fn>...</fn>) to insert automatically numbered footnotes.
Use [# ...] to insert automatically numbered footnotes. Textile variant.
Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically. (Better URL filter.)
Link to content with [[some text]], where "some text" is the title of existing content or the title of a new piece of content to create. You can also link text to a different title by using [[link to this title|show this text]]. Link to outside URLs with [[http://www.example.com|some text]], or even [[http://www.example.com]].
Glossary terms will be automatically marked with links to their descriptions. If there are certain phrases or sections of text that should be excluded from glossary marking and linking, use the special markup, [no-glossary] ... [/no-glossary]. Additionally, these HTML elements will not be scanned: a, abbr, acronym, code, pre.
Images can be added to this post.

معلومات أكثر عن خيارات التنسيق

كلمة التحقق

This question is for testing whether you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.