منطقة المثاليات الرئيسية

Principal Ideal Domain (PID)

تعريف

نقول عن حلقة تامة R أنها منطقة مثالية رئيسية principal ideal domain إذا كانت كل مثالية فيها مثالية رئيسية.

إذا كل مثالية في المنطقة المثالية الرئيسية R تكون على الشكل

$(a) = Ra = \{ ra:r \in R\}$

أمثلة

1) الحلقة $\mathbb{Z}$ منطقة مثالية رئيسية, هذا يثبت من خلال معرفتنا بأن كل زمرة جزئية من $\mathbb{Z}$ دائرية . أيضا هذه الحقيقة نتنج مباشرة من كون $\mathbb{Z}$ حلقة إقليدية وعلى كل هنا برهان مستقل.

2) الحلقة $\mathbb{Z}[x]$ المكونة من جميع الحدوديات التي معاملاتها أعداد صحيحة ليست منطقة مثالية رئيسية, من السهولة التحقق من أن المجموعة I المكونة من كل الحدوديات من $\mathbb{Z}[x]$ التي لها حد ثابت يقبل القسمة على $2$ عبارة عن مثالية . إذا كان a مولد للمثالية I فلابد أن يقسم $2$ لأن $2 \in I$ إذا المولدات المحتملة هي $2$ أو $- 2$ وهما في الحقيقة يولدان نفس المثالية وحيث أن $x + 2 \in I$ في حين $x + 2 \notin (2)$ فإن I ليست أولية.

مبرهنة1: في منطقة مثالية رئيسية R كل مثالية غير صفرية هي أولية إذا وإذا فقط كانت مثالية أعظمية.

البرهان: بما أن R إبدالية ذات محايد فكل مثالية أعظمية هي مثالية أولية . انظر المثالية الأعظمية.

لإثبات العكس, افرض أن $(a)$ مثالية أولية غير صفرية و $(b)$ مثالية تحتوي فعليا $(a)$ . إذا $a \in (b)$ ومنه $a = bc$ لبعض $c \in R$ . بما أن $(a)$ أولية و $bc \in (a)$ فإما $b \in (a)$ وهذا مرفوض لأنه يقتضي $(a) = (b)$ وإما $c \in (a)$ . إذا كان $c \in (a)$ فإن $c = da$ لبعض $d \in R$ وبالتالي $a = b(da)$ ومنه $bd = 1$ وفق قانون الاختصار للضرب . إذا $1 \in (b)$ والذي يؤدي إلى أن $(b) = R$ وهذا يثبت أن $(a)$ أعظمية.

مبرهنة2: في منطقة مثالية رئيسية R أي عنصرين غير صفريين a,b لهما قاسم مشترك أكبرd ومضاعف مشترك أصغر m . في هذه الحالة يكون

$\begin{gathered} (d) = (a) + (b) \hfill \\ (m) = (a) \cap (b) \hfill \\ \end{gathered}$

البرهان: بما أن R منطقة مثاليات رئيسية افرض أن $d,m \in R$ بحيث

$(d) = (a) + (b),\quad (m) = (a) \cap (b).$

ما يتبقى إذا هو إثبات أن $d,m$ هما المضاعف المشترك الأصغر والقاسم المشترك الأكبر . بما أن $a,b \in (d)$ فإن d يقسم a,b . ليكن c يقسم كلا من a,b . إذا $a,b \in (c)$ وعليه فإن

$(d) = (a) + (b) \subset (c)$

إذا $c|d$ وبالتالي $d = (a,b)$ .

لإثبات أن m هو المضاعف المشترك الأصغر لاحظ أن $m \in (a)$ و $m \in (b)$ وعليه فإن كلا من a,b يقسم m . ليكن $c \in R$ بحيث $a|c,\;\;b|c$ . إذا $n \in (a)$ و $n \in (b)$ أي أن