شبكة الرياضيات رمز

Residue Systems

هذا المفهوم يعتبر أحد أهم مفاهيم التطابقات خصوصا وساهم في تقديم تصور أعمق للتطابقات, الفكرة تبدأ ملاحظة أنه عندما نختار عدد طبيعي n فإننا نعلم أن بواقي القسمة على هذا العدد هي

0,1,2,..., n-1

هذه البواقي محدودة العدد جزأت مجموعة الأعداد الصحيحة إلى فصول تكافؤ

[0], [1], [2],...,[n-1]

باستخدام العلاقة

[tex]a \sim b \Leftrightarrow a \equiv b\;(\bmod n)[/tex]

وكما يعلم من له معرفة بعلاقات التكافؤ وفصولها أن العمليات على الفصول تكون مستقلة عن ممثل الفصل, نحن هنا نهتم بهذا السؤال من جانب نظرية^[م] العدد فنقول أن اختيار أي ممثل لفصل التكافؤ هو ممثل عن الباقي الذي يظهر عن قسمة كل عناصر الفصل على العدد n. بمعنى آخر لو قمنا باختيار n عنصرا بطريقة عشوائية من جميع فصول التكافؤ ولتكن [tex]\{ a_0 ,a_1 , \ldots ,a_{n - 1} \} [/tex] ثم سجلنا بواقي قسمة هذه الأعداد على n فسنجد أن البواقي جميعها ستظهر

0,1,2,..., n-1

ولذلك عناصر مثل هذه المجموعة [tex]\{ a_0 ,a_1 , \ldots ,a_{n - 1} \} [/tex] تسمى نظام بواقي تام أو نظام رواسب تام. الآن نقدم التعريف الرياضي لمفهوم أنظمة الرواسب.

تعريف 1: نقول أن الأعداد [tex]r_1 ,r_2 , \ldots ,r_n [/tex] تمثل نظام بواقي (رواسب) تام complete residue system معيار n إذا كان كل عدد صحيح يطابق واحد فقط من هذه الأعداد معيار n.

لذلك يكفي لاختبار ما إذا كان n من الأعداد الصحيحة تمثل نظام بواقي تام معيار n أن نثبت أن كل عدد منها يطابق عدد واحد فقط من الأعداد 0,1,2,...,n-1. هذه الأعداد الأخيرة هي نظام رواسب تام بحد ذاتها.

هناك طريقة أخرى لاختبار ما إذا كان عدد n من الأعداد [tex]r_1 ,r_2 , \ldots ,r_n [/tex] يمثل نظام بواقي تام معيار n أم لا, نحددها الآن.

حقيقة 1: الأعداد [tex]r_1 ,r_2 , \ldots ,r_n [/tex] تمثل نظام بواقي تام معيار n إذا وفقط إذا كان [tex]r_i \not \equiv r_j [/tex] لكل [tex]i \ne j[/tex].

في إثبات هذه الحقيقة نسير على النحو التالي:

افرض أن [tex]r_1 ,r_2 , \ldots ,r_n [/tex] تمثل نظام بواقي تام معيار n إذا [tex]r_i \not \equiv r_j [/tex] لكل [tex]i \ne j[/tex] لأن عكس ذلك سيجعل [tex]r_i [/tex] مثلا يطابق عنصرين من نظام البواقي وهذا مستحيل. عكسيا افرض أن [tex]r_i \not \equiv r_j [/tex] لكل [tex]i \ne j[/tex] إذا كل الأعداد

[tex]r_1 ,r_2 , \ldots ,r_n [/tex]

لها بواقي مختلفة عند قسمتها على العدد n. وحيث أن عددها n فإن كل عدد صحيح يطابق واحد فقط من هذه الأعداد معيار n وبالتالي [tex]r_1 ,r_2 , \ldots ,r_n [/tex] نظام بواقي تام معيار n.

نختم بهذه النظرية المفيدة في أنظمة الرواسب التامة.

نظرية 1: إذا كان [tex]r_1 ,r_2 , \ldots ,r_n [/tex] نظام بواقي تام معيار n وكان a عدد صحيح بحيث [tex](n,a) = 1[/tex] فإن

[tex]ar_1 + b,\;ar_2 + b,\; \ldots \,,\;ar_n + b[/tex]

نظام بواقي تام معيار n وذلك لأي عدد صحيح b. وكحالة خاصة فإن كل عدد n من الأعداد الصحيحة المتتابعة تمثل نظام بواقي تام معيار n.

باستخدام الحقيقة السابقة يكفي إثبات عدم تطابق أي عنصرين من

[tex]ar_1 + b,\;ar_2 + b,\; \ldots \,,\;ar_n + b[/tex]

معيار n. لذلك افرض جدلا أن [tex]ar_i + b \equiv ar_j + b[/tex] إذا [tex]ar_i \equiv ar_j [/tex] ومنه [tex]a(r_i - r_j ) \equiv 0[/tex] كل هذه التطابقات معيار n ولكن كتبت مختصرة . ولكن [tex]r_i - r_j \ne 0[/tex] وكذلك a أولي نسبيا مع n. إذا [tex]r_i \equiv r_j \;(\bmod n)[/tex] وهذا يناقض الحقيقة أعلاه حيث العنصرين من نظام رواسب تام. إذا الفرض خاطيء ويثبت المطلوب.

الحالة الخاصة المشار إليها في النظرية نتتج من حقيقة أن 0,1,2,...,n-1 نظام بواقي تام وأن أي عدد n من الأعداد الصحيحة المتتابعة تنتج من إضافة عدد ثابت b لهذه الأعداد.

نبذة عن كاتب الموضوع

الإسم: محترف

عضو مؤسس في شبكة الرياضيات رمز.