تعريف الحلقة وخواصها

The Ring

تعريف الحلقة

الحلقة هي مجموعة غير خالية R مزودة بعمليتين ثنائيتين الأولى رمزها + وتسمى الجمع addition والثانية تسمى الضرب (.) multiplication بحيث أن:

النظام $(R, + )$ زمرة (جمعية) إبدالية بمعنى أن:

1. لكل $a,b \in R$ فإن $a + b \in R$ (عملية الجمع مغلقة)

2. لكل $a,b,c \in R$ فإن $a + (b + c) = (a + b) + c$ (عملية الجمع تجميعية)

3. يوجد $0 \in R$ ويسمى العنصر الصفري بحيث $a + 0 = 0 + a = a$ (يوجد محايد لعملية الجمع)

4. لكل $a \in R$ يوجد $b \in R$ بحيث $a + b = b + a = 0$ (يوجد معكوس جمعي لكل عنصر)

5. لكل $a,b \in R$ فإن $a + b = b + a$ (عملية الجمع إبدالية)

النظام $(R, \cdot )$ شبه زمرة بمعنى أن:

6. لكل $a,b \in R$ فإن $a \cdot b \in R$ (عملية الضرب مغلقة)

7. لكل $a,b,c \in R$ فإن $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ (عملية الضرب تجميعية)

الضرب يتوزع على الجمع, بمعنى أن:

8. لكل $a,b,c \in R$ فإن $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ ( الضرب يتوزع على الجمع من جهة اليسار)

9. لكل $a,b,c \in R$ فإن $(b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a$ ( الضرب يتوزع على الجمع من جهة اليمين)

نشير للحلقة R بثلاثي مرتب فنقول الحلقة $(R, + , \cdot )$ أو نقول الحلقة R اختصارا.

الحلقة الإبدالية

نقول أن R حلقة إبدالية commutative ring إذا كان $a \cdot b = b \cdot a$ لكل $a,b \in R$ .

ملاحظة مهمة

يشترط بعض المؤلفين في تعريفه للحلقة أن تكون ذات محايد, هنا لن نعتمد هذا التعريف ولكن ننبه القارئ الكريم لذلك لدى مقارنته مقالات شبكة الرياضيات رمز ببعض المراجع لديه, وللعلم فليس هذا هو الاختلاف الوحيد بين المراجع العلمية في نظرية الحلقات بالذات لذا وجب الحيطة وقراءة التعريفات التي ننطلق منها.

اختصارات وترميز

اختصارات في الحلقة $(R, + , \cdot )$ :

1. إذا كان $a \in R$ فإننا نشير لمعكوسه الجمعي بالرمز $- a$ . إذا $a + ( - a) = ( - a) + a = 0$ .

2. إذا كان $a,b \in R$ فنكتب أحيانا الضرب $a \cdot b$ على الصورة $ab$ للاختصار.

3. إذا كان $a,b \in R$ فنكتب أحيانا $a + ( - b)$ على الصورة $a - b$ للاختصار.

4. إذا كان $a \in R$ و n عدد صحيح غير سالب نعرف

$\begin{array}{*{20}c} {0a} \hfill & { = 0_R } \hfill \\ {na} \hfill & { = a + a + \cdots + a,\quad (n\;{\text{times}}),\;n > 0} \hfill \\ { - na} \hfill & { = ( - a) + ( - a) + \cdots + ( - a),\quad (n\;{\text{times}}),\;n > 0} \hfill \\ \end{array}$

الحلقة ذات المحايد

نقول أن R حلقة ذات محايد ring with identity أو حلقة واحدية unit ring إذا كان هناك $1_R \in R$ بحيث

$1_R \cdot a = a \cdot 1_R = a$

وذلك لكل $a \in R$ . أي أن عملية الضرب تملك محايد وأحيانا نكتب $1$ للدلالة على هذا المحايد إذا لم نخش الالتباس.

إذا كانت الحلقة R تملك محايد $1_R$ فإنه وحيد, لأنه إذا فرضنا أن $e_1 ,e_2$ محايدين في R فإن $e_1 e_2 = e_2$ باعتبار $e_1$ محايد و $e_1 e_2 = e_1$ باعتبار $e_2$ محايد وبالتالي $e_1 = e_2$ .

قابلية الانعكاس

نقول عن عنصر a من حلقة R ذات محايد أنه قابل للانعكاس من جهة اليمين right invertible (قابل للانعكاس من جهة اليسار left invertible) إذا وجد $b \in R$ بحيث $ab = 1$ (بحيث $ba = 1$ ) ويسمى b المعكوس الأيمن للعنصر a (المعكوس الأيسر للعنصر a) في R. نقول أن a قابل للانعكاس invertible أو عنصر وحدة unit element إذا وجد $c \in R$ بحيث $ac = ca = 1$ ويسمى c معكوس a inverse of.

واضح أنه إذا كان للعنصر a معكوس $b_1$ من جهة اليمين ومعكوس $b_2$ من جهة اليسار فإن $b_1 = b_2$ , لذلك العنصر a له معكوس إذا وإذا فقط كان له معكوس من جهة اليمين وله معكوس من جهة اليمين.

إذا كان $a \in R$ وكان $n > 0$ عدد صحيح فإننا نعرف

$a^n = a \cdot a \cdot \ldots \cdot a,\quad (n\;{\rm{factors}})$

وإذا كانت R ذات محايد $1$ فنعرف $a^0 = 1$ وإذا كان $a^{ - 1}$ معكوس a فإننا نعرف

$a^{ - n} = a^{ - 1} \cdot a^{ - 1} \cdot \ldots \cdot a^{ - 1} ,\quad (n\;{\rm{factors}})$

خواص أولية في الجمع

في الحلقة R إذا كان $a,b \in R$ و $n \in \mathbb{Z}$ فإن

$\begin{array}{l} a0_R = 0_R a = 0_R \\ ( - a)b = a( - b) = - (ab) \\ ( - a)( - b) = ab \\ n(ab) = (na)b = a(nb) \\ \end{array}$

إذا كانت $a,b,a_i ,b_i \in R$ و $n,m \in \mathbb{Z}^ +$ فإن

$\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {a_i } } \right)\left( {\sum\limits_{j = 1}^m {b_i } } \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^m {a_i b_j } }$

على وجه الخصوص

$\begin{array}{l} a(b_1 + b_2 + \ldots + b_m ) = ab_1 + ab_2 + \ldots + ab_m \\ (a_1 + a_2 + \ldots + a_n )b = a_1 b + a_2 b + \ldots + a_n b \\ \end{array}$