غمر الحلقة

Ring Imbedding

تعريف1

نقول عن الحلقة R أنها مغمورة embedded في الحلقة S إذا وجد حلقة جزئية $R' \subset S$ بحيث $R' \cong R$ .

أي أن R مغمورة في S إذا وجد تماثل (حلقي) بين R وحلقة جزئية من S.

بالإمكان غمر أي حلقة في حلقة S ذات محايد ومميز ${\rm{char}}(S) = 0$ . علاوة على ذلك الحلقة S ليست وحيدة إذ يمكن غمر حلقة R في أخرى S لها نفس المميز. هذا ما نقدمه في النظرية التالية ونكتفي بالإشارة إلى مفاصل البرهان لها فقط.

مبرهنة2: يمكن غمر أي حلقة R في حلقة S ذات محايد. الحلقة S يمكن اختيارها ليكون مميزها ${\rm{char}}(S) = 0$ أو مميزها نفس مميز الحلقة المغمورة R.

مخطط البرهان:

(1) خذ S لتكون الزمرة الإبدالية الجمعية

$R \oplus \mathbb{Z} = \{ (r,n):r \in R,n \in \mathbb{Z}\}$

عملية الجمع كما هي معلوم $(r_1 ,n_1 ) + (r_2 ,n_2 ) = (r_1 + r_2 ,n_1 + n_2 )$ .

(2) أثبت أن S حلقة محايدها $(0,1)$ ومميزها ${\rm{char}}(S) = 0$ حيث عملية الضرب المعرفة عليها هي

$(r_1 ,n_1 )(r_2 ,n_2 ) = (r_1 r_2 + n_2 r_1 + n_1 r_2 ,\;n_1 n_2 )$

(3) أثبت أن R مغمورة في S بواسطة التشاكل $f:R \to S$ حيث $f(r) = (r,0)$ . وبهذا يكون قد ثبت الشق الأول من المبرهنة تماما وثبت من الشق الثاني فقط الحالة الخاصة عندما ${\rm{char}}(R) = 0$ .