المثاليات في حلقة

Ring Ideals

تعريف

لتكن R حلقة و I زمرة جزئية من $(R, + )$ . نقول أن I مثالية يسرى أو مثالي أيسر left ideal في R إذا كان $ra \in I$ لكل $r \in R,\,\,a \in I$ . نقول أن I مثالية يمنى أو مثالي أيمن right ideal في R إذا كان $ar \in I$ لكل $r \in R,\,\,a \in I$ . نقول أن I مثالية أو مثالي two sided ideal في R إذا كان $ar,ra \in I$ لكل $r \in R,\,\,a \in I$ .

يمكن تعريف المثالية بطريقة أخرى مكافئة فنقول أن المجموعة $I \ne \emptyset$ الجزئية من حلقة R تسمى مثالية يسرى إذا تحقق:

1. $a - b \in I$ لكل $a,b \in I$

2. $ra \in I$ لكل $r \in R,\,\,a \in I$ .

بتعديل الشرط 2. ليكون تأثير عناصر R من جهة اليمين نحصل على التعريف المكافيء في حالة المثالية اليمنى.

من التعريف ينتج مباشرة أن:

1. إذا كانت I مثالية يسرى في R فإن $0_R \in I$ . هذا واضح من $0_R a = 0$ حيث a عنصر من I .أي أن صفر الحلقة R ينتمي دائما إلى I. وكذلك الحال بالنسبة لأي مثالية يمنى.

2. في أي حلقة R كلا من $R,\{ 0\}$ مثالية.

3. إذا كانت R إبدالية فكل مثالية يسرى هي مثالية يمنى والعكس صحيح.

4. إذا كانت I مثالية يمنى (مثالية يسرى) تحوي $1_R$ محايد R فإن $R = I$ لأن $a = 1_R \cdot a$ ( $a = a \cdot 1_R$ ) لكل a من R.

5. إذا كانت I مثالية يمنى (مثالية يسرى) تحوي عنصر وحدة u من R فإن $R = I$ لأن $1_R \in I$ حيث $1_R = u \cdot u^{ - 1}$ ( $1_R = u^{ - 1} \cdot u$ ).

أمثلة على المثاليات

1. في حلقة إبدالية R كل مثالية يسرى هي مثالية يمنى والعكس صحيح.

2. في أي حلقة R كلا من $R,\{ 0\}$ مثالية وتسمى المثاليات التافهةtrivial .

3. إذا كان $f:R \to S$ تشاكل حلقي فإن $\ker f$ مثالية بينما ${\rm{im}}f$ مجموعة الصور بواسطة f قد لا تكون كذلك.

4. مركز الحلقة R , أي الحلقة الجزئية $C = \{ c \in R:cr = rc,\;r \in R\}$ قد لا تكون مثالية, لرؤية ذلك خذ حلقة المصفوفات $2 \times 2$ على حقل F.

حقيقة1: إذا كانت $R \ne 0$ حلقة إبدالية ذات محايد فإن R حقل إذا وإذا فقط كانت $R,\{ 0\}$ فقط المثاليتين في R.

البرهان: افرض أن $R,\{ 0\}$ هما فقط المثاليتين في R وأن R ليس حقلا. إذا يوجد $a \ne 0$ ليس له معكوس وبالتالي فإن المثالية

$\{ ra:r \in R\}$

والتي تحوي a فعلية من R وهذا تناقض.

عكسيا, افرض أن R وأن $a \ne 0$ ينتمي للمثالية I فإن I تحوي المحايد حيث $a^{ - 1} a \in I$ وعليه فإن $I = R$ . إذا R لا تحوي أي مثالية فعلية $I \ne 0$ .

تقاطع المثاليات وإتحادها

حقيقة2: لتكن R حلقة و $\{ A_i :i \in I\}$ عائلة family من مثاليات يسرى(يمنى) عندئذ $A = \mathop \cap \limits_{i \in I} A_i$ مثالية يسرى(يمنى).

الإثبات: سنثبت في حالة المثاليات اليسرى فقط والحالة الأخرى تعمل بالمثل. بداية A حلقة جزئية من R لأنها تقاطع لحلقات جزئية. إذا كان $a \in A_i$ لكل $i \in I$ وكان $r \in R$ فإن $ra \in A_i$ وذلك لأن $A_i$ لكل $i \in I$ وعليه فإن $ra \in A$ وهذا ينهي الإثبات.

حقيقة3: إذا كانت S حلقة جزئية من الحلقة R وكانت I مثالية يمنى (أو يسرى) في R فإن $S \cap I$ مثالية يمنى (أو يسرى) في S.

البرهان: سنثبت فقط الحقيقة في حالة المثالية اليسرى والحالة الثانية تعامل بالمثل.

بما أن S حلقة جزئية فإن S زمرة جزئية من R بالنسبة لعملية الجمع وبالتالي $S \cap I$ زمرة جزئية من الزمرة الجمعية R. إذ ا كان $s \in S$ و $a \in S \cap I$ فإن $sa \in I$ لكون I مثالية يسرى وكذلك $sa \in S$ لكونه S حلقة. إذا $sa \in S \cap I$ .

إتحاد المثاليات

في حين تقاطع المثاليات يعطي مثالية الحال ليس كذلك في حالة الإتحاد, على سبيل المثال فإن كلا من

$\left\langle 2 \right\rangle = \{ 2n:n \in \mathbb{Z}\} ,\quad \left\langle 3 \right\rangle = \{ 3n:n \in \mathbb{Z}\}$

مثاليتين في الحلقة $\mathbb{Z}$ ومع ذلك $\left\langle 2 \right\rangle \cup \left\langle 3 \right\rangle$ ليست مثالية فهي ليست مغلقة بالنسبة للجمع إذ لا تحوي $2 + 3$ .

الحقيقة التالية تعطي الشرط الضروري والكافي لكي يكون إتحاد مثاليتين مثالية.

حقيقة4: إذا كانت A,B مثاليتين من حلقة R فإن $A \cup B$ مثالية في R إذا وإذا فقط $A \subset B$ أو $B \subset A$ .

جمع وضرب المثاليات

لتكن إذا كانت $A_1 ,A_2 , \ldots ,A_n$ مجموعات جزئية من حلقة R. نعرف الجمع لها كما يلي

$A_1 + A_2 + \ldots + A_n = \{ a_1 + a_2 + \ldots + a_n \;:\;a_i \in A_i \}$

إذا كانت A,B مجموعتين غير خالية من R فإننا نعرف الضرب $AB$ على أنه مجموعة كل المجاميع المنتهية من الشكل

$a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots + a_k b_k$

حيث k عدد صحيح موجب و $a_i \in A,b_i \in B$ . وعلى العموم إذا كانت $A_1 ,A_2 , \ldots ,A_n$ مجموعات جزئية غير خالية من R فإن حاصل الضرب $A_1 A_2 \ldots A_n$ يعرف بأنه مجموعة جميع المجاميع المنتهية لعناصر من الشكل $a_1 a_2 \ldots a_n$ حيث $a_i \in A_i$ . إذا كانت $A_i = A$ لكل i فإننا نكتب $A^n$ للدلالة على هذا الضرب.