تشاكل الحلقات

Rings Homomorphism

تعريف التشاكل

إذا كانت $R,S$ حلقتين فإن التطبيق $f:R \to S$ يسمى تشاكل homomorphism أو تشاكل حلقيring homomorphism إذا كان:

$\begin{array}{l} (i)\;\;f(a + b) = f(a) + f(b), \\ (ii)\;f(ab) = f(a)f(b) \\ \end{array}$

لكل $a,b \in R$ .

إذا كان f أحادي كتطبيق سمي تشاكل أحادي monomorphism. إذا كان f شامل كتطبيق سمي تشاكل شامل epimorphism. يسمى التشاكل f تماثل isomorphism إذا كان أحادي وشامل معا. انظر أنواع التشاكل. إذا كان $f:R \to S$ تماثل نقول أن R تماثل S (R isomorphic to S) ونكتب ذلك $R \cong S$ .

إذا التشاكل (الحلقي) يساهم في الحفاظ على البنية, حيث يرسل مجموع إلى مجموع وحاصل ضرب عنصرين إلى حاصل ضرب عنصرين.

ملاحظة

التشاكل الحلقي f يعد تشاكل زمري من الزمرة $(R, + )$ إلى $(S, + )$ ولذلك فإن خصائص التشاكل المرتبطة بعناصر الزمرتين متحققة تلقائيا مثل:

$\begin{gathered} f(0) = 0, \hfill \\ f( - a) = - f(a), \hfill \\ f(na) = nf(a),\;n \in \mathbb{Z} \hfill \\ \end{gathered}$

مبرهنة1: ليكن $f:R \to S$ تشاكل بين حلقتين $R,S$ عندئذ:

(1) إذا كانت A حلقة جزئية من R فإن $f(A)$ حلقة جزئية من S.

(2) إذا كانت B حلقة جزئية من S فإن $f^{ - 1} (B)$ حلقة جزئية من R.

ملخص البرهان:

(1) $f(A)$ غير خالية. خذ $x,y \in f(A)$ وليكن $a,b \in A$ بحيث $x = f(a)$ و $y = f(b)$ . بما أن A حلقة جزئية فإن $ab,\;a - b \in A$ وبالتالي

$\begin{array}{l} f(a - b) \in A\; \Rightarrow f(a) - f(b) \in A, \\ f(ab) \in A\;\; \Rightarrow f(a)f(b) \in A. \\ \end{array}$

إذا $f(A)$ حلقة جزئية من S.

(2) $f^{ - 1} (B)$ غير خالية, لماذا؟. خذ $a,b \in f^{ - 1} (B)$ . إذا $f(a),\;f(b) \in B$ وحيث أن B حلقة جزئية فإن

$\begin{array}{l} f(a - b) = f(a) - f(b) \in B, \\ f(ab) = f(a)f(b) \in B. \\ \end{array}$

ومنه ينتج أن $ab,\;a - b \in f^{ - 1} (B)$ . إذا $f^{ - 1} (B)$ حلقة جزئية من R.

نواة التشاكل وصورة التشاكل

إذا كان $f:R \to S$ تشاكل حلقات فإن نواة f وتكتب $\ker f$ هي مجموعة كل العناصر $a \in R$ التي عندها يتلاشى التشاكل f. أي أن

$\ker f = \{ a \in R:f(a) = 0\} \subset R$

صورة f وتكتب ${\rm{img}}\;f$ هي

${\rm{img}}\;f = \{ f(a):a \in R\} \subset S$

الحقيقة التالية ناتج مباشر من المبرهنة 1:

حقيقة2: إذا كان $f:R \to S$ تشاكل بين حلقتين $R,S$ فإن:

(1) $\ker f$ حلقة جزئية من R. علاوة على ذلك $\ker f = \{ 0\}$ إذا وإذا فقط كان f أحادي.

(2) ${\rm{img }}f$ حلقة جزئية من S.

البرهان:

(1) بما أن $\ker f = f^{ - 1} (\{ 0\} )$ فإن $\ker f$ حلقة جزئية من R حسب مبرهنة1 حيث $\{ 0\}$ حلقة جزئية من S. إذا كان f أحادي فإن $\ker f = \{ 0\}$ وضوحا, لأن $f(0) = 0$ . عكسيا إذا كان $\ker f = \{ 0\}$ فإن

$f(a) = f(b) \Rightarrow f(a) - f(b) = 0 \Rightarrow f(a - b) = 0$

إذا $a - b \in \ker f = \{ 0\}$ وبالتالي $a = b$ . أي أن f أحادي.

(2) بما أن R حلقة جزئية من R وبما أن $f(R) = {\rm{img }}f$ المطلوب ينتج من مبرهنة1.

ملاحظة

في الحقيقة النواة $\ker f$ هي أكثر من حلقة جزئية, حيث تتمتع بخاصية أنه إذا كان $a \in \ker f$ و $r \in R$ فإن $ar,ra \in \ker f$ . هذه الخاصية مهمة حيث يبنى عليها تعريف حلقات جزئية خاصة تعرف بالمثاليات وهي أساسية للغاية في دراسة الحلقات.

أمثلة على التشاكلات

(1) التطبيق $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ حيث $z \to \bar z$ تشاكل حلقي.

(2) التطبيق $f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_n$ المعرف بـ $f(a) = [a]$ عبارة عن تشاكل شامل. فيه

$\ker f = n\mathbb{Z} = \{ nk:k \in \mathbb{Z}\}$

(3)
إذا كانت $R = \mathbb{Q}(\sqrt 5 ) = \{ a + b\sqrt 5 :a,b \in \mathbb{Q}\}$ فإن $g(a + b\sqrt 5 ) = a - b\sqrt 5$
قاعدة لتشاكل من R إلى نفسها. واضح أنه شامل. بين انه أحادي.

(4) التطبيق $f:F \to M_2 (F)$ من حلقة الأعدادالصحيحة إلى حلقة
المصفوفات $2 \times 2$ ذات المدخلات من حقل F والذي يرسل r إلى $\left( {\begin{array}{*{20}c} r \hfill & 0 \hfill \\ 0 \hfill & 0 \hfill \\ \end{array} } \right)$ يمثل تشاكل وهو يرسل المحايد إلى المحايد. أما التطبيق الذي يرسل r إلى
$\left( {\begin{array}{*{20}c} r \hfill & 0 \hfill \\ 0 \hfill & r \hfill \\ \end{array} } \right)$ فإنه تشاكل أيضا ولكن لا يرسل المحايد إلى المحايد.

(5) التطبيق $f:\mathbb{Z}_6 \to \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_3$ المعرف بـ $f([a]_6 ) = ([a]_2 ,[a]_3 )$ تماثل حلقي. بين أولا أن f جيد التعريف, أي تعريفه مستقل عن الممثل a للصف $[a]$ .

(6) التطبيق $f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_p$ المعرفة بالقانون $a \to [a]^p$ تمثل تشاكل حلقي حيث p عدد أولي. حيث من نظرية ذات الحدين لدينا

$(a + b)^p = a^p + \left( \begin{gathered} p \hfill \\ 1 \hfill \\ \end{gathered} \right)a^{p - 1} b + \cdots + \left( \begin{gathered} p \hfill \\ p - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right)ab^{p - 1} + b^p$

ولكن في $\left( \begin{gathered} p \hfill \\ k \hfill \\ \end{gathered} \right) = \frac{{p(p - 1) \cdots (p - k + 1)}}{{k(k - 1) \cdots 2 \cdot 1}}$ جميع عوامل المقام لا تقسم p لأنه أولي إذا سيبقى p عاملا من عوامل $\left( \begin{gathered} p \hfill \\ k \hfill \\ \end{gathered} \right)$ لكل $0 < k < p$ وعليه فإن لكل عددين صحيحيين a,b لدينا

$(a + b)^p = a^p + b^p (\bmod p)$

وحيث $[n]^p = [n^p ]$ لكل عدد صحيح n فإن العلاقة أعلاه تبين أن

$f(a + b) = f(a) + f(b)$

كذلك وبما أن $[ab]^p = ([a] \cdot [b])^p = [a]^p [b]^p$ فإن $f(ab) = f(a)f(b)$ .

التشاكل والحلقة ذات المحايد

إذا كان كلا من الحلقتين $R,S$ لها محايد وكان $f:R \to S$ تشاكل حلقي فليس من الضروري أن يكون $f(1_R ) = 1_S$ . بالمناسبة بالنسبة لأولئك الذين يقدمون المحايد (لعملية الضرب) من ضمن تعريف الحلقة نجدهم يقدمون عادة تعريف التشاكل بالشرط الإضافي

$f(1_R ) = 1_S$

تعريفنا للحلقة لا يشترط وجود المحايد ولذلك لم نقدم هذا الشرط من ضمن تعريف التشاكل. فيما يلي نرى كيف أن شرط الشمول يضمن تحقق هذا الشرط على التشاكلات.

مبرهنة3: ليكن $f:R \to S$ تشاكل حلقي شامل وليكن $1_R ,\;1_S$ المحايد في $R,S$ تواليا, عندئذ:

(1) $f(1_R ) = 1_S$

(2) إذا كان u عنصر وحدة فإن $f(u^{ - 1} ) = f(u)^{ - 1}$ .

(3) إذا كانت R حلقة إبدالية فإن S حلقة إبدالية.

ملخص البرهان:

(1) ليكن $b \in S$ بما أن f شامل يوجد $a \in R$ بحيث $f(a) = b$ . بما أن

$\begin{array}{l} bf(1_R ) = f(a)f(1_R ) = f(a1_R ) = f(a) \\ \\ f(1_R )b = f(1_R )f(a) = f(1_R a) = f(a) \\ \end{array}$

فإن $f(1_R )$ محايد في S وحيث المحايد في حلقة يكون وحيد فإن $f(1_R ) = 1_S$ .

(2) باستخدام تعريف التشاكل والبند (1) ينتج مباشرة حيث

$\begin{array}{*{20}c} {f(u^{ - 1} ) = f(u^{ - 1} )\left( {f(u)f(u)^{ - 1} } \right)} \hfill & { = \left( {f(u^{ - 1} )f(u)} \right)f(u)^{ - 1} = f(u^{ - 1} u)f(u)^{ - 1} } \hfill \\ {} \hfill & { = f(1_R )f(u)^{ - 1} = f(u)^{ - 1} } \hfill \\ \end{array}$

(3) لتكن R إبدالية و $x,y \in S$ . بما أن f شامل يوجد $a,b \in R$ بحيث $x = f(a)$ و $y = f(b)$ وبالتالي

$xy = f(a)f(b) = f(ab) = f(ba) = f(b)f(a) = yx$

والذي يثبت إبدالية S.

مراجع

أ.د فالح بن عمران الدوسري, مقدمة في نظرية الحلقات

Thomas W. Hungerford, ALGEBRA, Springer-Verlag.
I. N. Herstein, Topics in Algebra, John Wiley & Sons.

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

تشاكل الحلقات

Rings Homomorphism

تعريف التشاكل

نواة التشاكل وصورة التشاكل

أمثلة على التشاكلات

التشاكل والحلقة ذات المحايد

مراجع

التعليقات

علِّق

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة