حلقات المجموعات

Rings of Sets

تعريف1: حلقة المجموعات من X هي تجمع غير خال $\mathfrak{A}$ لمجموعات جزئية من مجموعة X مغلق تحت عمليتي الفرق والاتحاد.بمعنى آخر حلقة المجموعات عبارة عن تجمع $\mathfrak{A}$ لمجموعات من X بحيث أنه إذا كانت $A,B \in \mathfrak{A}$ فإن

1) $A\backslash B \in \mathfrak{A}$ .

2) $A \cup B \in \mathfrak{A}$ .

نتائج مباشرة

1) $\emptyset \in \mathfrak{A}$
بما أن $\mathfrak{A}$ غير خال يوجد $E \in \mathfrak{A}$ وبالتالي $E\backslash E \in \mathfrak{A}$ أي $\emptyset \in \mathfrak{A}$ .

2) حلقة المجموعات مغلقة تحت عملية الفرق التناظري ذلك لأن

$A\Delta B = (A\backslash B) \cup (B\backslash A)$

3) حلقة المجموعات مغلقة تحت عملية التقاطع ذلك لأن

$A \cap B = (A \cup B)\backslash (A\Delta B)$

4) حلقة المجموعات $\mathfrak{A}$ مغلقة تحت عملية التقاطع المنتهي والاتحاد المنتهي فإذا كانت $A_1 ,A_2 , \ldots ,A_n \in\mathfrak{A}$ فإن

$\begin{gathered}A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n \in \mathfrak{A} \hfill \\A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n \in \mathfrak{A} \hfill \\ \end{gathered}$

هذا ينتج بسهولة باستخدام الاستقراء الرياضي (التراجع).

5) تقاطع أي عدد من حلقات المجموعات من X يعطي حلقة مجموعات. البرهان مماثل لما في موضوع جبرة المجموعات.

أمثلة على حلقات المجموعات

1) مجموعة القوة $P(X)$ لمجموعة X. كحالة خاصة التجمع $\{ \emptyset \}$ المكون من المجموعة الخالية فقط.
2) التجمع F لكل المجموعات المنتهية من مجموعة X.
3) التجمع U لكل الاتحادات المنتهية لفترات حقيقية محدودة من الشكل $[a,b)$ .
4) التجمع C لكل المجموعات العدودة (عدودة (قابلة للعد)) من مجموعة غير عدودة (عدودة (قابلة للعد)) X.

الحقيقة التالية تبين أنه لأي تجمع D يوجد أصغر حلقة مجموعات تحوي هذا التجمع, مثل هذه الحلقة تسمى حلقة المجموعات المولدة بواسطة D ورمزها $R(D)$ .

حقيقة2: ليكن $D$ تجمع لمجموعات جزئية من X. يوجد أصغر حلقة مجموعات $R(D)$ بحيث تحوي D بمعنى أنه إذا كانت $\Gamma$ أي حلقة مجموعات تحوي D فإن $R(D) \subset \Gamma$ .

البرهان: ليكن $\mathfrak{C}$ عائلة جميع الحلقات التي تحتوي D. بالطبع $\mathfrak{C}$ غير خالية لأن $P(X) \in \mathfrak{C}$ . اجعل

$R(D) = \cap \{ \mathfrak{B}:\mathfrak{B} \in \mathfrak{C}\}$

إذا $R(D)$ حلقة مجموعات تحوي D لأنها تقاطع لحلقات مجموعات تحوي D. لإثبات أنها أصغر حلقة مجموعات تحوي D خذ $\mathfrak{B}$ أي جبرا تحوي D. من تعريف $R(D)$ نستنتج أن $R(D) \subset \mathfrak{B}$ ويثبت المطلوب.

حقيقة3: لتكن $(A_n )$ متتابعة لمجموعات في حلقة مجموعات $\mathfrak{A}$ عندئذ توجد متتابعة $(B_n )$ في $\mathfrak{A}$ من مجموعات منفصلة بحيث $B_n \subset A_n$ و $\cup A_n = \cup B_n$ .

البرهان: بداية افرض أن $(A_n )$ متتابعة غير منتهية. إذا جعلنا $B_1 = A_1$ وأن

$B_n = A_n \backslash (A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_{n - 1} ) = A_n \cap (A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_{n - 1} )^c$

لكل $n > 1$ فإن $B_n \in \mathfrak{A}$ وكذلك $B_n \subset A_n$ . الآن خذ $m > n$ إذا

$B_m \cap B_n = (A_m \cap A_1^c \cap \ldots \cap A_{m - 1}^c ) \cap (A_n \cap A_1^c \cap \ldots \cap A_{n - 1}^c )$

وحيث أن $A_n^c$ مضمنه في القوس الأول من هذه التقاطعات فإن $B_m \cap B_n \subset A_n^c \cap A_n = \emptyset$ أي أن المجموعتان $B_m ,B_n$ منفصلتان.

بما أن $B_n \subset A_n$ فإن $\bigcup\limits_{n = 1}^\infty {B_n } \subset \bigcup\limits_{n = 1}^\infty {A_n }$ . لإثبات الاحتواء العكسي افرض أن $x \in \bigcup\limits_{n = 1}^\infty {A_n }$ إذا x موجود في بعض $A_i$ . ليكن k أصغر عدد طبيعي بحيث $x \in A_k$ إذا $x \in B_k$ وبالتالي $\bigcup\limits_{n = 1}^\infty {B_n } \supset \bigcup\limits_{n = 1}^\infty {A_n }$ .

في حال ما إذا كانت المتتابعة منتهية $(A_1 ,A_2 , \ldots ,A_k )$ نمددها إلى الغير منتهية $(A_n )$ حيث $A_n = \emptyset$ لكل $n > k$ إذا $B_n = \emptyset$ لكل $n > k$ وباستخدام ما توصلنا له آنفا فإن