الدالة البسيطة

Simple Function

الدالة البسيطة هي دالة حقيقية القيمة تأخذ فقط عدد منتهي من القيم. عادة ما نكتب الدالة البسيطة $\phi$ على شكل تركيب خطي لدوال مميزة

$\phi (x) = \sum\limits_{i = 1}^n {\alpha _i \chi _{A_i } } (x)\quad (*)$

هذا التمثيل للدالة البسيطة ليس وحيدا. إذا كانت $\alpha _1 ,\alpha _2 , \ldots ,\alpha _n$ القيم المختلفة للدالة البسيطة $\phi$ فإن التمثيل

$\phi (x) = \sum\limits_{i = 1}^n {\alpha _i \chi _{E_i } } (x)$

يسمى تمثيل قانوني canonical representation أو تمثيل معياري standard representation للدالة البسيطة, حيث

$E_i = \{ x:\phi (x) = \alpha _i \}$

بعبارة أخرى التمثيل قانونيا إذا كانت $\alpha _1 ,\alpha _2 , \ldots ,\alpha _n$ مختلفة و $E_1 ,E_2 , \ldots ,E_n$ مجموعات منفصلة. على سبيل المثال التمثيلين

$\begin{array}{l} \phi (x) = 2\chi _{( - \infty ,0)} + 3\chi _{[0,1]} + \chi _{(1,\infty )} \\ \phi (x) = 2\chi _{( - \infty ,1]} + \chi _{[0,\infty )} \\ \end{array}$

كلاهما لنفس الدالة. الأول منهما هو تمثيل قانوني ومنه يتضح قيمها المختلفة $1,2,3$ .

العمليات على الدوال البسيطة

1) حاصل جمع (أو طرح) أو ضرب دالتين بسيطتين هو دالة بسيطة.
2) كذلك حاصل ضرب دالتين بسيطتين هو دالة بسيطة, إذا كان c عدد حقيقي فإن $f(x) = c$ دالة بسيطة حيث $f(x) = c\chi _\mathbb{R} (x)$ وبالتالي حاصل ضرب دالة بسيطة في عدد حقيقي c يعطي دالة بسيطة.
3) إذا كان كلا من $f_1 ,f_2$ دالة بسيطة فإن كلا $\min \{ f_1 ,f_2 \}$ و $\max \{ f_1 ,f_2 \}$ دالة بسيطة.

قابلية القياس للدالة البسيطة

ليكن $(X,\Sigma )$ فضاء قابل للقياس. الدالة البسيطة $\phi = \sum\limits_{i = 1}^n {\alpha _i \chi _{E_i } }$ المعرفة على X قابلة للقياس إذا وإذا فقط كانت $E_1 ,E_2 , \ldots ,E_n$ قابلة للقياس.

نستطيع إثبات هذه الحقيقية بطريقتين.
الأولى معتمدة على الدالة المميزة, فبدون فقد للعمومية يكفي أن نأخذ في الاعتبار فقط $\alpha _i \chi _{E_i }$ التي فيها $\alpha _i \ne 0$ . كما نعلم $\chi _{E_i }$ قابلة للقياس إذا وإذا فقط كانت $E_i$ قابلة . أيضا $\alpha _i \chi _{E_i }$ قابلة للقياس إذا وإذا فقط $\chi _{E_i }$ قابلة للقياس وذلك لأن ضرب دالة قابلة للقياس في عدد هو دالة قابلة للقياس (حيث كل قابلية قياس أي واحدة من الدالتين تؤدي لقابلية قياس الأخرى من خلال عامل عددي مناسب). وحيث مجموع دوال قابلة للقياس قابلة للقياس فإن $\phi$ قابلة للقياس إذا وإذا فقط $E_1 ,E_2 , \ldots ,E_n$ قابلة للقياس.

الطريقة الثانية, مستقلة عن النظريات المتعلقة بالعمليات على الدوال القابلة للقياس حيث يمكننا فرض أن قيم $\phi$ المختلفة مرتبة تصاعديا $\alpha _1 < \alpha _2 < \ldots < \alpha _n$ . وعليه فإن

$\begin{array}{l} E_1 = \{ x:\phi (x) < \alpha _2 \} \\ E_k = \{ x:\alpha _{k - 1} < \phi (x) < \alpha _{k + 1} \} ,\quad 1 < k < n. \\ E_n = \{ x:\phi (x) > \alpha _{n - 1} \} \\ \end{array}$

وبالتالي إذا كانت $\phi$ قابلة للقياس فإن $E_1 ,E_2 , \ldots ,E_n$ قابلة للقياس. عكسيا إذا كانت $E_k$ قابلة للقياس لكل $1 \le k \le n$ فإن

$\{ x:\phi (x) > \alpha \} = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} X \hfill & {{\rm{if}}\,\alpha < \alpha _1 } \hfill \\ \emptyset \hfill & {{\rm{if}}\,\alpha \ge \alpha _n } \hfill \\ { \cup _k^n E_k } \hfill & {{\rm{if}}\,\alpha _{k - 1} \le \alpha < \alpha _k } \hfill \\\end{array}} \right.$

وبالتالي $\phi$ قابلة للقياس.

مراجع

R G Bartle, Elements of Integration and Lebesgue Measure
P R Halmos, Measure Theory
Royden, Real Analysis

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

الدالة البسيطة

Simple Function

العمليات على الدوال البسيطة

قابلية القياس للدالة البسيطة

مراجع

التعليقات

علِّق

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة