تكامل الدالة البسيطة

Simple Function Integral

تعريف1: لتكن $\phi = \sum\limits_{i = 1}^n {\alpha _i \chi _{E_i } }$ دالة بسيطة في تمثيلها القانوني من تجمع الدوال الغير سالبة القيمة القابلة للقياس $M^ + (X,\Sigma )$ . يعرف تكامل $\phi$ بالنسبة للمقياس $\mu$ كما يلي

$\int \phi d\mu = \sum\limits_{i = 1}^n {\alpha _i \mu } (E_i )$

لاحظ رغم أن المجموع منتهي لكن قد يكون $+ \infty$ . أيضا في هذا المجموع يستخدم الاتفاق $0( \pm \infty ) = 0$ وذلك في حالة ما يكون $\alpha _i = 0$ و $\mu (E_i ) = \pm \infty$ .

إذا كانت E مجموعة قابلة للقياس فإننا نعرف تكامل الدالة البسيطة $\phi$ على E (بالنسبة للمقياس $\mu$ ) على أنه العدد الحقيقي الممتد

$\int\limits_E {\phi d\mu } = \int {\phi \chi _E d\mu }$

بما أن $\phi \chi _E = \sum\limits_{i = 1}^n {\alpha _i \chi _{(E_i \cap E)} }$ هو الشكل القانوني للدالة البسيطة $\phi \chi _E$ فإن

$\int\limits_E {\phi d\mu } = \sum\limits_{i = 1}^n {\alpha _i \mu } (E_i \cap E)$

حقيقة2: إذا كانت $\phi = \sum\limits_{i = 1}^n {a_i \chi _{E_i } }$ دالة بسيطة غير سالبة وكانت $E_1 ,E_2 , \ldots ,E_n$ قابلة للقياس ومنفصلة مثنى مثنى فإن

$\int \phi = \sum\limits_{i = 1}^n {a_i \mu (E_i )}$

البرهان: لتكن $b_1 ,b_2 , \ldots ,b_m$ القيم المختلفة للدالة $\phi$ . لاحظ أن

$F_j = \{ x:\phi (x) = b_j \} = \bigcup\limits_{a_i = b_j } {E_i }$

كما أن $b_j \mu (F_j ) = \sum\limits_{a_i = b_j } {a_i \mu (E_i )}$ إذا

$\int \phi d\mu = \sum\limits_{j = 1}^m {b_j \mu } (F_j ) = \sum\limits_{i = 1}^n {a_i \mu } (E_i )$

من هذه الحقيقة تبين أنه ليس بالضرورة أن تكون الدالة البسيطة الموجبة في تمثيل قانوني حتى نجرى التكامل بل يكفي أن تكون المجموعات في الدوال المميزة المكونة للدالة البسيطة منفصلة قابلة للقياس, ولذلك يمكن للبعض أن يتخذ من هذه الصورة تعريف لتكامل الدالة البسيطة الموجبة. الحقيقة التي أثبتناها الآن تبين أن التكامل وفق هذا التعريف مستقل عن تمثيل الدالة البسيطة أي معرف جيدا well defined.

حقيقة3: إذا كانت $\phi ,\psi$ دالتين بسيطتين في $M^ + (X,\Sigma )$ فإن
1) $\int {c\phi d\mu } = c\int {\phi d\mu }$ وذلك لكل عدد حقيقي $c \ge 0$

2) $\int {(\phi + \psi )d\mu } = \int {\phi d\mu } + \int {\psi d\mu }$

البرهان:
1) لتكن $\phi = \sum\limits_{i = 1}^n {\alpha _i \chi _{E_i } }$ في تمثيلها القانوني. إذا كان $c = 0$ فالعلاقة متحققة. إذا كان $c > 0$ فإن $c\phi$ في $M^ + (X,\Sigma )$ وتمثيلها القانوني $c\phi = \sum\limits_{i = 1}^n {c\alpha _i \chi _{E_i } }$ ولذلك

$\int {c\phi d\mu } = \sum\limits_{i = 1}^n {c\alpha _i \mu (E_i )} = c\sum\limits_{i = 1}^n {\alpha _i \mu (E_i )} = c\int {\phi d\mu }$

2) لتكن $\phi = \sum\limits_{i = 1}^n {\alpha _i \chi _{E_i } }$ و $\psi = \sum\limits_{ = 1}^m {\beta _i \chi _{E_i } }$ في التمثيل القانوني. إذا

$\phi + \psi = \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^m {(\alpha _i + \beta _j )\chi _{(E_i \cap F_j )} } }$

بما أن $E_i \cap F_j$ مجموعات منفصلة من حقيقة2 ينتج أن

$\begin{array}{*{20}c} {\int {\phi + \psi d\mu } } \hfill & { = \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^m {(\alpha _i + \beta _j )\mu (E_i \cap F_j )} } } \hfill \\ {} \hfill & { = \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^m {\alpha _i \mu (E_i \cap F_j )} + \sum\limits_{j = 1}^m {\sum\limits_{i = 1}^n {\beta _j \mu (E_i \cap F_j )} } } } \hfill \\\end{array}$

وحيث أن $\{ F_j \}$ تجزيء للمجموعة X فإنه لأي i لدينا

$\sum\limits_{j = 1}^m {\alpha _i \mu (E_i \cap F_j )} = \alpha _i \sum\limits_{j = 1}^m {\mu (E_i \cap F_j )} = \alpha _i \mu \left( {E_i \cap \bigcup\limits_{j = 1}^m {F_j } } \right) = \alpha _i \mu (E_i )$

بالمثل $\{ E_i \}$ تجزيء للمجموعة X وبالتالي لأي j لدينا

$\sum\limits_{i = 1}^n {\beta _j \mu (E_i \cap F_j )} = \beta _j \mu (F_j )$

وبالتعويض في مجموع التكامل أعلاه ينتج لنا

$\int {(\phi + \psi )d\mu } = \sum\limits_{i = 1}^n {\alpha _i \mu (E_i )} + \sum\limits_{j = 1}^m {\beta _j \mu (F_j )} = \int {\phi d\mu } + \int {\psi d\mu }$

حقيقة4: إذا كانت $\phi$ دالة بسيطة في $M^ + (X,\Sigma )$ فإن الدالة $\lambda (E) = \int {\phi \chi _E d\mu }$ مقياس على $\Sigma$ .

البرهان: كما نعلم, إذا كانت $\phi = \sum\limits_{i = 1}^n {\alpha _i \chi _{E_i } }$ في تمثيلها القانوني فإن

$\lambda (E) = \int\limits_E {\phi d\mu } = \sum\limits_{i = 1}^n {\alpha _i \mu } (E_i \cap E)$

لكل $1 \le i \le n$ الدالة $\mu _i :\Sigma \to [0,\infty ]$ مقياس حيث $\mu _i (E) = \mu (E \cap E_i )$ . إذا $\lambda$ عبارة عن تركيب خطي لمقاييس, إذا $\lambda$ مقياس على $\Sigma$ .

مراجع

http://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_integration  
R G Bartle, Elements of Integration and Lebesgue Measure
P R Halmos, Measure Theory
Royden, Real Analysis

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

تكامل الدالة البسيطة

Simple Function Integral

مراجع

التعليقات

علِّق

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة