الحلقة البسيطة

Simple Ring

 

تعريف

نقول عن الحلقة R غير صفرية أنها حلقة بسيطة إذا كانت R,\{ 0\} هما فقط المثالي في R.

 

حقيقة1: إذا كانت R حلقة قاسمية فإن R حلقة بسيطة.

البرهان: ليكن a عنصر غير صفري من مثالية I \ne 0. إذا a^{ - 1} a \in I وبالتالي I = R لكونه مثالي يحوي محايد R.

 

العكس غير صحيح

على سبيل المثال في M_n (F),\;n \geqslant 2 حلقة جميع المصفوفات من النوع n \times n التي مدخلاتها من حقل F ليس كل مصفوفة لها معكوس ولذلك ليست حلقة قاسمية. لكنها حلقة بسيطة والسبب في ذلك أنه إذا كانت R حلقة فإن كل مثالية في M_n (R),\;n \geqslant 2 تكون على الشكل M_n (I) حيث I مثالية في R. ولذلك مثاليات M_n (R) بسيطة إذا وإذا فقط كانت R بسيطة.

 

مراجع

Thomas W. Hungerford, ALGEBRA, Springer-Verlag.
I. N. Herstein, Topics in Algebra, John Wiley & Sons.

 

التعليقات

علِّق

  • LaTeX formulas are automatically converted into images.
  • بإمكانك استخدام وسوم BBCode في النصوص URLs will automatically be converted to links.
  • تتحول مسارات مواقع وب و عناوين البريد الإلكتروني إلى روابط آليا.

معلومات أكثر عن خيارات التنسيق