فضاء الدوال المركبة القابلة للتكامل

Space of Complex Integrable Functions

سنعرف $L_\mathbb{C} (\mu )$ على أنه تجمع الدوال^[م] الحقيقية القيمة المعرفة على X والقابلة للتكامل بالنسبة للمقياس $\mu$ . التجمع $L_\mathbb{C} (\mu )$ فضاء خطي (فضاء اتجاهي) مركب compplex vector space.

العديد من الخواص التي أثبتناها على الدوال^[م] الحقيقية القيمة القابلة للتكامل أو المتعلقة بالفضاء $L_\mathbb{R} (\mu )$ تظل صحيحة على فضاء الدوال^[م] المركبة القابلة للتكامل.

مبرهنة1: إذا كانت $f,g \in L_\mathbb{C} (\mu )$ وكانت $\alpha ,\beta$ أعداد مركبة فإن $\alpha \,f + \beta g \in L_\mathbb{C} (\mu )$ كما أن

$\,\int {(\alpha f + \beta g)d\mu } = \alpha \int {fd\mu } + \beta \int {gd\mu }$

البرهان: الجزء الأول ناتج مباشر من تكامل الطرفين في هذه المتباينة

$\left| {\alpha \,f + \beta g} \right| \leqslant \left| {\alpha \,} \right|\left| {\,f} \right| + \left| \beta \right|\left| g \right|$

بالنسبة لخطية التكامل نثبت أولا أن $\int {\alpha fd\mu } = \alpha \int {fd\mu }$ . افرض $\alpha = a + ib$ حيث $a,b \in \mathbb{R}$ . إذا

$\begin{array}{*{20}c} {\int {\alpha fd\mu } } \hfill & { = \int {(a + ib)(u + iv)} = \int {(au - bv) + i(av + bu)} } \hfill \\ {} \hfill & { = \int {(au - bv)} + i\int {(av + bu)} = \int {au} - \int {bv} + i\int {av} + i\int {bu} } \hfill \\\end{array}$

ولكن

$\begin{array}{*{20}c} {\alpha \int {fd\mu } } \hfill & { = (a + ib)\int {(u + iv)} = (a + ib)\left( {\int u + i\int v } \right)} \hfill \\ {} \hfill & { = a\int u + ia\int v + ib\int u - b\int v = \int {au} - \int {bv} + i\int {av} + i\int {bu} } \hfill \\\end{array}$

لإثبات أن $\int {(f + g)d\mu } = \int {fd\mu } + \int {gd\mu }$ لدينا

$\begin{array}{*{20}c} {\int {(f + g)d\mu } } \hfill & { = \int {(u_1 + u_2 ) + i(v_1 + v_2 )} = \int {(u_1 + u_2 )} + i\int {(v_1 + v_2 )} } \hfill \\ {} \hfill & { = \left( {\int {u_1 } + i\int {v_1 } } \right) + \left( {\int {u_2 } + i\int {v_2 } } \right) = \int {fd\mu } + \int {gd\mu } } \hfill \\\end{array}$

حقيقة2: إذا كانت f مركبة القيمة قابلة للتكامل, أي فإن $f \in L_\mathbb{C} (\mu )$ فإن

$\left| {\int {fd\mu } } \right| \leqslant \int {\left| f \right|d\mu }$

البرهان: بما أن $\smallint fd\mu$ عدد مركب يوجد $0 \leqslant \theta < 2\pi$ بحيث $\left| {\smallint fd\mu } \right| = e^{i\theta } \smallint fd\mu$ . إذا

$\left| {\int {fd\mu } } \right| = e^{i\theta } \int {fd\mu } = \int {e^{i\theta } fd\mu } = Re \int {e^{i\theta } fd\mu }$

المساواة الأخيرة هنا لأن $\smallint e^{i\theta } fd\mu$ حقيقي فهو مساو للعدد الحقيقي في بداية المساواة. إذا

$\left| {\int {fd\mu } } \right| = Re \int {e^{i\theta } fd\mu } = \int {Re (e^{i\theta } f)d\mu } \leqslant \int {\left| {e^{i\theta } f} \right|d\mu } = \int {\left| f \right|d\mu }$

لأن $\left| {e^{i\theta } } \right| = 1$ وبهذا تثبت الحقيقة.

مبرهنة3 (نسخة مركبة لنظرية التقارب المسقوف للوبيغ): لتكن $(f_n )$ متتابعة في X من دوال مركبة القيمة قابلة للقياس ومتقاربة تقريبا إلى للدالة f. إذا كان هناك دالة^[م] قابلة للتكامل g بحيث $\left| {f_n } \right| \leqslant g$ لكل صحيح موجب n فإن f قابلة للتكامل وعندئذ

$\begin{array}{*{20}c} {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int {\left| {f - f_n } \right|d\mu } = 0} \hfill & {(1)} \hfill \\ {\int {fd\mu } = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int {f_n d\mu } } \hfill & {(2)} \hfill \\\end{array}$

البرهان: لتكن N المجموعة ذات المقياس صفر والتي عليها لا تتقارب $(f_n )$ إلى f. بما أن تكامل الدالة^[م] لا يتغير إذا غيرنا قيمتها على مجموعة مقياسها صفر فإنه يمكن إعادة تعريف $f_n ,f$ على N لتكون صفر. إذا يمكن أن نفرض أن $(f_n )$ متقاربة إلى f لكل $x \in X$ .

بما أن $\left| {f_n } \right| \leqslant g$ فإن $\left| f \right| \leqslant g$ وبالتالي $f_n ,f$ قابلة للتكامل. بما أن

$\left| {f_n - f} \right| \leqslant \left| {f_n } \right| + \left| f \right| \leqslant 2g$

فإنه يمكن تطبيق^[م] حقيقية فاتو على $2g - \left| {f_n - f} \right| \geqslant 0$ . إذا

$\begin{array}{*{20}c} {\int {2gd\mu } } \hfill & { = \int {\lim \inf (2g - \left| {f_n - f} \right|)} \leqslant \lim \inf \int {(2g - \left| {f_n - f} \right|)} } \hfill \\ {} \hfill & { = \int {2g} d\mu + \lim \inf \int {( - \left| {f_n - f} \right|)d\mu } } \hfill \\ {} \hfill & { = \int {2gd\mu } - \lim \sup \int {\left| {f_n - f} \right|d\mu } } \hfill \\\end{array}$

بما أن $\int {2gd\mu }$ منتهي (أي لا يساوي $\pm \infty$ ) يمكن شطبه لنجد أن

$\lim \sup \int {\left| {f_n - f} \right|d\mu } \leqslant 0\quad (3)$

وحيث أن المتتابعة من حدود غير سالبة إذا لم تتقارب إلى عدد موجب فإن نهايتها العليا لا يمكن أن تكون صفرا, نستنتج أن

$\lim \sup \int {\left| {f_n - f} \right|d\mu } = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int {\left| {f_n - f} \right|d\mu } = 0$

وهذا يثبت العلاقة(1). العلاقة (2) تنتج منها مع تطبيق^[م] حقيقية2 كما يلي

$0 \leqslant \left| {\int {f_n d\mu } - \int {fd\mu } } \right| = \left| {\int {(f_n - f)d\mu } } \right| \leqslant \int {\left| {f_n - f} \right|d\mu } \to 0$

مراجع

R G Bartle, Elements of Integration and Lebesgue Measure
W. Ruden, Real and Complex Analysis

نبذة عن كاتب الموضوع

$User picture$

الإسم: محترف

عضو مؤسس في شبكة الرياضيات رمز.

علِّق

التعليق: *

Every instance heading tags will be modified to include an id attribute for anchor linking.
Every instance of "" in the input text will be replaced with a collapsible mediawiki-style table of contents. Accepts options for title, list style, minimum heading level, and maximum heading level as follows: . All arguments are optional and defaults are shown.
وسوم html المسموح بها: <a> <i> <p> <b> <center> <style> <em> <strong> <cite> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <div> <dir> <span> <style> <br> <br /> <blockquote> <h1> <h2> <h3> <h4> <h5> <h6> <hr> <img> <sub> <sup> <table> <tbody> <tfoot> <th> <thead> <tr> <td> <dd>
LaTeX formulas are automatically converted into images.
بإمكانك استخدام وسوم BBCode في النصوص URLs will automatically be converted to links.
تتحول مسارات مواقع وب و عناوين البريد الإلكتروني إلى روابط آليا.
Use [fn]...[/fn] (or <fn>...</fn>) to insert automatically numbered footnotes.
Use [# ...] to insert automatically numbered footnotes. Textile variant.
Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically. (Better URL filter.)
Link to content with [[some text]], where "some text" is the title of existing content or the title of a new piece of content to create. You can also link text to a different title by using [[link to this title|show this text]]. Link to outside URLs with [[http://www.example.com|some text]], or even [[http://www.example.com]].
Glossary terms will be automatically marked with links to their descriptions. If there are certain phrases or sections of text that should be excluded from glossary marking and linking, use the special markup, [no-glossary] ... [/no-glossary]. Additionally, these HTML elements will not be scanned: a, abbr, acronym, code, pre.
Images can be added to this post.

معلومات أكثر عن خيارات التنسيق

كلمة التحقق

This question is for testing whether you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.