فضاء الدوال المركبة القابلة للتكامل

Space of Complex Integrable Functions

سنعرف $L_\mathbb{C} (\mu )$ على أنه تجمع الدوال الحقيقية القيمة المعرفة على X والقابلة للتكامل بالنسبة للمقياس $\mu$ . التجمع $L_\mathbb{C} (\mu )$ فضاء خطي (فضاء اتجاهي) مركب compplex vector space.

العديد من الخواص التي أثبتناها على الدوال الحقيقية القيمة القابلة للتكامل أو المتعلقة بالفضاء $L_\mathbb{R} (\mu )$ تظل صحيحة على فضاء الدوال المركبة القابلة للتكامل.

مبرهنة1: إذا كانت $f,g \in L_\mathbb{C} (\mu )$ وكانت $\alpha ,\beta$ أعداد مركبة فإن $\alpha \,f + \beta g \in L_\mathbb{C} (\mu )$ كما أن

$\,\int {(\alpha f + \beta g)d\mu } = \alpha \int {fd\mu } + \beta \int {gd\mu }$

البرهان: الجزء الأول ناتج مباشر من تكامل الطرفين في هذه المتباينة

$\left| {\alpha \,f + \beta g} \right| \leqslant \left| {\alpha \,} \right|\left| {\,f} \right| + \left| \beta \right|\left| g \right|$

بالنسبة لخطية التكامل نثبت أولا أن $\int {\alpha fd\mu } = \alpha \int {fd\mu }$ . افرض $\alpha = a + ib$ حيث $a,b \in \mathbb{R}$ . إذا

$\begin{array}{*{20}c} {\int {\alpha fd\mu } } \hfill & { = \int {(a + ib)(u + iv)} = \int {(au - bv) + i(av + bu)} } \hfill \\ {} \hfill & { = \int {(au - bv)} + i\int {(av + bu)} = \int {au} - \int {bv} + i\int {av} + i\int {bu} } \hfill \\\end{array}$

ولكن

$\begin{array}{*{20}c} {\alpha \int {fd\mu } } \hfill & { = (a + ib)\int {(u + iv)} = (a + ib)\left( {\int u + i\int v } \right)} \hfill \\ {} \hfill & { = a\int u + ia\int v + ib\int u - b\int v = \int {au} - \int {bv} + i\int {av} + i\int {bu} } \hfill \\\end{array}$

لإثبات أن $\int {(f + g)d\mu } = \int {fd\mu } + \int {gd\mu }$ لدينا

$\begin{array}{*{20}c} {\int {(f + g)d\mu } } \hfill & { = \int {(u_1 + u_2 ) + i(v_1 + v_2 )} = \int {(u_1 + u_2 )} + i\int {(v_1 + v_2 )} } \hfill \\ {} \hfill & { = \left( {\int {u_1 } + i\int {v_1 } } \right) + \left( {\int {u_2 } + i\int {v_2 } } \right) = \int {fd\mu } + \int {gd\mu } } \hfill \\\end{array}$

حقيقة2: إذا كانت f مركبة القيمة قابلة للتكامل, أي فإن $f \in L_\mathbb{C} (\mu )$ فإن

$\left| {\int {fd\mu } } \right| \leqslant \int {\left| f \right|d\mu }$

البرهان: بما أن $\smallint fd\mu$ عدد مركب يوجد $0 \leqslant \theta < 2\pi$ بحيث $\left| {\smallint fd\mu } \right| = e^{i\theta } \smallint fd\mu$ . إذا

$\left| {\int {fd\mu } } \right| = e^{i\theta } \int {fd\mu } = \int {e^{i\theta } fd\mu } = Re \int {e^{i\theta } fd\mu }$

المساواة الأخيرة هنا لأن $\smallint e^{i\theta } fd\mu$ حقيقي فهو مساو للعدد الحقيقي في بداية المساواة. إذا

$\left| {\int {fd\mu } } \right| = Re \int {e^{i\theta } fd\mu } = \int {Re (e^{i\theta } f)d\mu } \leqslant \int {\left| {e^{i\theta } f} \right|d\mu } = \int {\left| f \right|d\mu }$

لأن $\left| {e^{i\theta } } \right| = 1$ وبهذا تثبت الحقيقة.

مبرهنة3 (نسخة مركبة لنظرية التقارب المسقوف للوبيغ): لتكن $(f_n )$ متتابعة في X من دوال مركبة القيمة قابلة للقياس ومتقاربة تقريبا إلى للدالة f. إذا كان هناك دالة قابلة للتكامل g بحيث $\left| {f_n } \right| \leqslant g$ لكل صحيح موجب n فإن f قابلة للتكامل وعندئذ

$\begin{array}{*{20}c} {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int {\left| {f - f_n } \right|d\mu } = 0} \hfill & {(1)} \hfill \\ {\int {fd\mu } = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int {f_n d\mu } } \hfill & {(2)} \hfill \\\end{array}$

البرهان: لتكن N المجموعة ذات المقياس صفر والتي عليها لا تتقارب $(f_n )$ إلى f. بما أن تكامل الدالة لا يتغير إذا غيرنا قيمتها على مجموعة مقياسها صفر فإنه يمكن إعادة تعريف $f_n ,f$ على N لتكون صفر. إذا يمكن أن نفرض أن $(f_n )$ متقاربة إلى f لكل $x \in X$ .

بما أن $\left| {f_n } \right| \leqslant g$ فإن $\left| f \right| \leqslant g$ وبالتالي $f_n ,f$ قابلة للتكامل. بما أن

$\left| {f_n - f} \right| \leqslant \left| {f_n } \right| + \left| f \right| \leqslant 2g$

فإنه يمكن تطبيق حقيقية فاتو على $2g - \left| {f_n - f} \right| \geqslant 0$ . إذا

$\begin{array}{*{20}c} {\int {2gd\mu } } \hfill & { = \int {\lim \inf (2g - \left| {f_n - f} \right|)} \leqslant \lim \inf \int {(2g - \left| {f_n - f} \right|)} } \hfill \\ {} \hfill & { = \int {2g} d\mu + \lim \inf \int {( - \left| {f_n - f} \right|)d\mu } } \hfill \\ {} \hfill & { = \int {2gd\mu } - \lim \sup \int {\left| {f_n - f} \right|d\mu } } \hfill \\\end{array}$

بما أن $\int {2gd\mu }$ منتهي (أي لا يساوي $\pm \infty$ ) يمكن شطبه لنجد أن

$\lim \sup \int {\left| {f_n - f} \right|d\mu } \leqslant 0\quad (3)$

وحيث أن المتتابعة من حدود غير سالبة إذا لم تتقارب إلى عدد موجب فإن نهايتها العليا لا يمكن أن تكون صفرا, نستنتج أن

$\lim \sup \int {\left| {f_n - f} \right|d\mu } = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int {\left| {f_n - f} \right|d\mu } = 0$

وهذا يثبت العلاقة(1). العلاقة (2) تنتج منها مع تطبيق حقيقية2 كما يلي

$0 \leqslant \left| {\int {f_n d\mu } - \int {fd\mu } } \right| = \left| {\int {(f_n - f)d\mu } } \right| \leqslant \int {\left| {f_n - f} \right|d\mu } \to 0$

مراجع

R G Bartle, Elements of Integration and Lebesgue Measure
W. Ruden, Real and Complex Analysis

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

فضاء الدوال المركبة القابلة للتكامل

Space of Complex Integrable Functions

مراجع

التعليقات

اريد شرح تفصيلىيروى فضولى من

علِّق

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة