خصائص التوبولوجي المعتاد على R

The Properties of Usual Topology on R

للفضاء التوبولوجي $(\mathbb R,\tau_u)$ خصائص رائعة و جميلة ، منها :

نظرية (1) :

لكل عددين حقيقيين مختلفين يوجد لدينا عدد نسبي يقع بينهما .

الإثبات :

ليكن لدينا $a,b\in \mathbb R$ بحيث $a<b$ ، و بالتالي $b-a>0$ ، و حسب خاصية ارخميديان يوجد لدينا عدد طبيعي $n\in \mathbb N$ بحيث :

$n(b-a)> 100$

أي بمعنى :

$nb-na>100$

و بالتالي الفرق بين $nb$ و $na$ أكبر من 100 ، و بالتالي :

يوجد لدينا عدد صحيح $m\in \mathbb Z$ بحيث :

$na<m<nb \Longleftrightarrow a<\frac mn <b$

أي أن $\frac mn$ عدد نسبي بين العددين $a,b$ .

نتيجة (1) :

لكل عددين حقيقيين مختلفين يوجد لدينا عدد غير نسبي يقطع بينهما .

الإثبات :

ليكن لدينا $a,b\in \mathbb R$ بحيث $a<b$ ، و بالتالي :

$\sqrt 3 a< \sqrt 3 b$

و حسب نظرية (1) يوجد لدينا عدد نسبي بين $\sqrt 3 a$ و $\sqrt 3 b$ و لنقل أنه $m$ ، و بالتالي :

$\sqrt 3 a< m<\sqrt 3 b \Longleftrightarrow a<{\frac{m}{\sqrt 3}}<b$

ولكن العدد $\frac{m}{\sqrt 3}$ عدد غير نسبي ، و هو المطلوب .

نتيجة (2) :

لكل عددين حقيقيين مختلفين يوجد لدينا عدد لانهائي (عدود) من الأعداد النسبية يقع بينهما ، و يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الغير نسبية يقع بينهما .

الإثبات :

ليكن لدينا $a,b\in \mathbb R$ بحيث $a<b$ .

ولكن من نظرية (1) يوجد لدينا عدد نسبي $r_1$ يقع بينهم ، و بتطبيق نظرية (1) مرة أخرى على العددين $a,r_1$ و العددين $r_1,b$ ، فيكون لدينا $r_3,r_2$ تقع بينهما على التوالي .

و بالتالي و استمراراً بهذا التكنيك نحصل على :

$r_1,r_2,r_3,\cdots\cdots$

أعداد نسبية تقع بين العددين $a,b$ ، و ما أن $\mathbb Q$ مجموعة عدودة ، فإن عدد هذه الأعدد النسبية الواقعة بينهم هو عدد عدود.

و بنفس الطريقة نحصل على عدد لا نهائي من الأعداد الغير نسبية إعتماداً على نتيجة (1) .

نظرية(2) :

ليكن لدينا $\{U_a:a\in \Delta\}$ عائلة من الفترات المنفصلة ، و بالتالي :

$\{U_a: a\in \Delta\}$

عبارة عن مجموعة عدودة .

الإثبات :

ما نريده هو أن نبني إقتران شامل (غامر Onto) من مجموعة الأعداد $\mathbb N$ إلى العائلة السابقة .

لنفرض أن $A$ هي الأعداد النسبية التي تكون احتواء في $U_a$ لكل $a\in \Delta$ ، بحيث نأخذ عدد نسبي واحد من كل فترة $U_a$ .

الآن المجموعة $A\subseteq \mathbb Q$ ، و بالتالي المجموعة $A$ مجموعة عدودة .

إذن يوجد لدينا $f:\mathbb N \rightarrow A$ بحيث $f$ دالة شاملة (Onto).

لنعرف الدالة $g:A\rightarrow \{U_a:a\in \Delta\}$ ، بحيث :

$g(x)=U_a, x\in U_a$

و بالتالي الدالة $g$ دالة شاملة حسب طبيعة التكوين .

سيكون لدينا الدالة $g\circ f:\mathbb N \rightarrow \{U_a:a\in\Delta\}$ [/tex] دالة شاملة .

أي أن :

$|\{U_a: a\in \Delta\}|\leq |\mathbb N|$

و هو المطلوب .

نظرية (3) :

ليكن لدينا $\{U_a:a\in\Delta\}$ عائلة من الفترات المفتوحة التي تحوي النقطة $p$ لكل $a\in\Delta$ ، و بالتالي :

$U=\bigcup\limits_{a\in\Delta} U_a$

عبارة عن فترة مفتوحة تحوي النقطة $p$ في الفضاء التوبولوجي المعتاد.

الإثبات :

واضح لدينا أن :

$U=\bigcup\limits_{a\in\Delta} U_a$

عبارة عن مجموعة مفتوحة في $\mathbb R$ و تحوي النقطة $p$ .

الأن لكي نثبت أنها فترة مفتوحة لا بد أن نثبت أنها تملك شكل من أشكال الفترات المفتوحة في التوبولوجي المعتاد ، و بالتالي ينبغي علينا إما أن تكون فترة مفتوحة لها $sup$ و $inf$ ، أو أن نثبت أنها شعاع أيسر مفتوح أو شعاع أيمن مفتوح ، أو تكون كل $\mathbb R=(-\infty,\infty)$ .

لنبدأ على فرض أن المجموعة $U$ محدودة من الأعلى و بالتالي لها $sup$ لنقل أنه $q$ ، الآن $q\not\in U$ و السبب أنه لو كان موجوداً فيها ، فهنالك أحد فترات $U_a$ بحيث تكون إحتواء في $U$ لنقل أنها $(a,b)$ و بالتالي :

$q\in(a,b) \subseteq U$

إذن يوجد لدينا نقطة لنقل أنها $x\in(q,b)$ ، و هذه النقطة لا يمكن أن تكون داخل $U$ بسبب أنه لدنا $q=sup(U)$ و هذا تناقض أن الفترة احتواء في $U$ .

و بالتالي نستنتنج أن جميع النقاط $x$ بحيث :

$p<x<q\Longrightarrow x\inU$

و بنفس التكنيك بإمكاننا أن نثبت لو كانت المجموعة $U$ محدودة من الأسفل فإن لها $inf$ و لنقل أنه $t$ ، فسنلاحظ أيضاً أن $t\not\in U$ و لدينا أيضاً :

$t<x<p\Longrightarrow x\inU$

الآن يمكن دراسة الحالات الممكنة بشكل بسيط :

1) تكون $U$ شعاع أيمن مفتوح إذا كانت محدودة من الأسفل و غير محدودة من الأعلى .

2) تكون $U$ شعاع أيسر مفتوح إذا كانت محدودةمن الأعلى و غير محدودة من الأسفل .

3) تكون $U$ فترة مفتوح لها حدين من الأعداد الحقيقة إذا كانت محدودة.

4) تكون $U$ كل $\mathbb R=(-\infty,\infty)$ إذا كانت غير محدودة .

نلاحظ في كل حالة من الحالات أن $U$ عبارة عن فترة مفتوحة في التوبولوجي المعتاد.

نظرية (4) :

في الفضاء التوبولوجي المعتاد تكون المجموعة $U$ مجموعة مفتوحة إذا و فقط إذا كانت $U$ عبارة عن اتحاد عدود من الفترات المنفصلة المفتوحة .

الإثبات :

الإتجاه $\Rightarrow$ واضح من تعريف التوبولوجي .

الإتجاه $\Leftarrow$ :

إذا كانت $U$ مجموعة مفتوحة ، فإنه لكل عنصر $p\in U$ يوجد لدينا فترة مفتوحة $(a,b)$ بحيث :

$p\in (a,b)\subseteq U$

لنفرض الأتي :

$I_p=\bigcup\{ (a,b): p\in (a,b)\subseteq U\}$

نلاحظ ما يلي :

1) $I_p$ عبارة عن فترة مفتوحة من خلال نظرية (3).

2) إذا كان $I_p\cap I_q\ne \phi$ و بالتالي يجب أن يكون $I_p=I_q$ .

إثبات (2) :

لنفرض أن $z\in I_p\cap I_q$ و لنأخذ العنصر $x\in I_p$ .

نلاحظ ما يلي :

أ‌) يوجد لدينا فترة لنقل أنها $(a,b)$ بحيث $x,p\in (a,b)$ .

ب‌) يوجد لدينا فترة لنقل أنها $(c,d)$ بحيث $z,p\in (c,d)$ .

ت‌) يوجد لدينا فترة لنقل أنها $(e,,f)$ بحيث $z,q\in (e,f)$ .

و بالتالي :

جميع الفترات السابقة متداخلة حسب التكوين و اتحادهم يعطي فترة مفتوحة أي :

$(k,m)=(a,b)\cup (c,d)\cup (e,f)$

هي عبارة عن فترة مفتوحة كل من $x,q$ بداخلها و حسب تعريف $I_q$ يكون لدينا :

$(k,m)\in I_q$

و بالتالي :

$I_p\subset I_q$ و بنفس الطريقة ينتج لدينا $I_q\subseteq I_p$ .

وآخيراً نصل إلى :

$I_p=I_q$

3) إذا كان لدينا $x,y \in U$ فيكون لدينا إما $I_x=I_y$ أو $I_x\cap I_y=\phi$ .

و إثبات (3) ينتج مباشرة من (2) .

إدعاء :

$U=\bigcup\limits_{x\in U} I_x$

الآن كل $I_x$ هي داخل $U$ و بالتالي اتحادهم سيكون داخل $U$ .

و بما أن لكل عنصر في $x\in U$ هنالك $I_x$ فإن $U$ احتواء في اتحاد جميع هذه الفترات .

عدد $I_p$ هو عدد عدود من نظرية (2)و حسب الإدعاء ينتج المطلوب .

نتيجة (3) :

في الفضاء التوبولوجي المعتاد تكون المجموعة $U$ مجموعة مغلقة إذا و فقط إذا كانت $U$ عبارة عن متممة اتحاد عدود من الفترات المنفصلة المفتوحة .

إثبات : خذ المتمة من نظرية(4) ينتج المطلوب .

نتيجة (4) :

إذا كانت $U$ مجموعة مفتوحة في التوبولوجي المعتاد ، و كانت $A$ أي مجموعة محدودة في $\mathbb R$ ، فإن $U-A$ عبارة عن مجموعة مفتوحة .

الإثبات :

حسب نظرية (4) يمكن كتابة $U$ على شكل اتحاد عدود من فترات مفتوحة منفصلة ، و بما أن نقاط المجموعة $A$ تنتمي لعدد محدود من هذه الفترات ، فإن كل نقطة تفصل الفترة المفتوحة إلى فترتين مفتوحتين ، و بالتالي المجموعة $U-A$ تبقى عبارة عن اتحاد عدود من الفترات المفتوحة .

وهو المطلوب .

المرجع :

General Topology , Paul Long

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

خصائص التوبولوجي المعتاد على R

The Properties of Usual Topology on R

التعليقات

علِّق

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة