الحلقة الجزئية

Subring

تعريف

لإذا كانت R حلقة فإننا نقول عن مجموعة جزئية $S \subset R$ أنها حلقة جزئية subring من R إذا كانت هي بنفسها حلقة تحت نفس عمليات R.

أمثلة على حلقات جزية

1) مجموعة الأعداد الزوجية $2\mathbb{Z}$ حلقة جزئية من حلقة الأعداد الصحيحة $\mathbb{Z}$ . لاحظ أن هذه الحلقة الجزئية بدون عنصر محايد.

2) في سلسلة الحلقات $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ كل حلقة هنا جزئية من التي على يمينها.

3) إذا كانت $R = M(\mathbb{R})$ حلقة جميع الدوال الحقيقة $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ وكانت S مجموعة جميع الدوال $f \in R$ بحيث $f(1) = 0$ فإن S حلقة جزية من R.

المثال الأخير يمكن التحقق منه سريعا باستخدام الحقيقة التالية التي تستخدم دائما كاختبار للحلقيات الجزئية.

حقيقة1: إذا كانت S مجموعة غير خالية من حلقة R فإن S حلقة جزئية من R إذا وفقط إذا كان

$\begin{gathered} (i)\;\;a,b \in S \Rightarrow a - b \in S \hfill \\ (ii)\;a,b \in S \Rightarrow ab \in S \hfill \\ \end{gathered}$

ملخص البرهان: بما أن S غير خالية فإن الشرط $(i)$ يؤدي إلى أن $(S, + )$ زمرة جزئية من $(R, + )$ . الشرط $(ii)$ يعني أن S مغلقة بالنسبة لعملية الضرب. وحيث تتحقق قوانين التوزيع والتجميع في الضرب وراثيا فإن S حلقة جزئية.

عكسيا, إذا كانت S حلقة جزئية من R وكان $a,b \in S$ فإن $- b \in S$ وبالتالي $ab,\;a - b \in S$ .

حقيقة2: إذا كانت $S,T$ حلقتين جزئيتين من حلقة R فإن $S \cap T$ حلقة جزئية من R.

ملخص البرهان: $S \cap T$ غير خالية. إذا كانت $a,b \in S \cap T$ فإن $a,b \in S$ ومنه $ab,\;a - b \in S$ وكذلك $a,b \in T$ ومنه $ab,\;a - b \in T$ . إذا $ab,\;a - b \in S \cap T$ ويثبت المطلوب.