الفضاء التوبولوجي الجزئي

The Subspace Topology

تعريف :

ليكن لدينا $(X,\tau)$ فضاء توبولوجي ، وليكن $A\subseteq X$ ، و لنعرف الدالة $I:A\rightarrow X$ ( دالة Inclusion ) أي :

$I(x)=x , \forall x \in A$

التوبولوجي المستحث على $A$ بواسطة $X$ و الدالة $I$ يسمى فضاء توبولوجي جزئي و يرمز للفضاء التوبولوجي المستحث بالرمز $(A,\tau_A)$ .

انظر موضوع [[فضاء توبولوجي مستحث بواسطة الدوال]].

ايمكن صياغة النظرية السابقة بواسطة النظرية الآتية :

نظرية (1) :

ليكن $(X,\tau)$ فضاء توبولوجي ، و ليكن $(A,\tau_A)$ فضاء توبولوجي جزئي ، و بالتالي :

$U\in\tau_A$ إذا و فقط إذا كان يوجد لدينا $V\in\tau$ بحيث $U=V\cap X$

الإثبات :

لتكن $U\in\tau_A$ و بالتالي :

$U\in\tau_A$ :

$\Leftrightarrow$ يوجد لدينا $V\in\tau$ بحيث $U=I^{-1}(V)$ .

$\Leftrightarrow$ يوجد لدينا $V\in\tau$ بحيث $U=I^{-1}((V\cap A)\cup(V-A))$ .

$\Leftrightarrow$ يوجد لدينا $V\in\tau$ بحيث $U=(V\cap A)\cup \phi$ .

$\Leftrightarrow$ يوجد لدينا $V\in\tau$ بحيث $U=V\cap A$ .

إذن النظرية السابقة تخبرنا أنه يمكن معرفة عناصر المجموعات المفتوحة للفضاء التوبولوجي الجزئي عن طريق أخذ التقاطعات للمجموعات المفتوحة في الفضاء التوبولوجي الأصلي مع الفضاء الجزئي ، أي بمعنى آخر :

$\tau_A=\{ A\cap U|U\in\tau\}$

نتيجة (*) :

ليكن $(X,\tau)$ فضاء توبولوجي ، و ليكن $(A,\tau_A)$ فضاء توبولوجي جزئي ، و بالتالي :

$U$ مجموع مغلقة في $A$ إذا و فقط إذا كان يوجد لدينا $V$ مجموعة مغلقة في $X$ بحيث $U=V\cap X$

الإثبات :

طبق النظرية (1) على المجموعة $A\backslash U$ .

مثال (*) :

ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي المعتاد على $\mathbb R$ ، و ليكن لدينا $A=[0,1]$ ، جد الشكل العام للمجموعات المفتوحة في $\tau_A$ .

الحل :

الآن يصعب علينا دراسة جميع تقاطعات المجموعات المفتوحة في $\tau_u$ ، و بالتالي يمكن فقط أن ندرسها عن طريق أخذ فترة مفتوحة و لنقل أنها $(a,b)$ ، و دراسة الحالات عليها و سيكون التوبولوجي المكون على $A$ هو بأخذ جميع الإتحادات الممكنة و الذي بالأصل تعريف الأساس .

و بالتالي :

$A\cap (a,b)=\begin{cases} (a,b) & a,b \in A\\ [0,b) & b\in A, a\not\in A\\ (a,1] & a\in A,b\not\in A\\ \phi & a,b\not\in A\\ A & a<0, b>1 \end{cases}$

لاحظ أن شكل المجموعات المفتوحة في الحالة الثانية و الثالثة و الآخيرة ، عبارة عن مجموعات مفتوحة في $\tau_A$ و لكن ليست مفتوحة في $\tau_u$ .

و بالتالي :

لا يشترط كون المجموعة مفتوحة في $\tau_A$ أن تكون مفتوحة في $\tau_u$ .

فمثلاً :

في المثال السابق هل $(\frac 14,1]$ مجموعة مفتوحة في $\tau_A$ ؟

بالتأكيد ما دام $V=(\frac 14,10)$ مجموعة مفتوحة في $\tau_u$ بحيث :

$(\frac 14,1]=V\cap A$

و لكن $(-7,1]$ ليست مجموعة مفتوحة في $\tau_A$ بسبب أنه لا يوجد مجموعة مفتوحة نقاطعها مع $A$ بحيث يعطنا الفترة المذكورة .

لاحظ إن دراسة الفضاء التوبولوجي الجزئي مهم جداً في تكوين أي توبولوجي نريد من أي مجموعة جزئية في داخل الفضاء الأصلي ، فمثلاً :

ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي المعتاد على $\mathbb R$ ، فإذا كان لدينا $A=\mathbb Q$ ، فإن الفضاء التوبولوجي الجزئي على $A$ هو :

$\tau_A=\{V\cap \mathbb Q| V\in\tau_u\}$

لاحظ لقد استطعنا معرفة شكل العناصر للمجموعات المفتوحة في $A$ الذي له مهام كثيرة في تكوني أمثلة مضادة للحقائق المزيفة .

السؤال الذي يطرح الآن :

متى تكون المجموعات المفتوحة (المغلقة) في $\tau_A$ هي مجموعات مفتوحة (مغلقة) في $\tau$ ؟

إجابة هذا السؤال يكون بالنظرية الآتية :

نظرية (2) :

ليكن لدينا $(X,\tau)$ فضاء توبولوجي ، و ليكن لدينا $(A,\tau_A)$ فضاء توبولوجي جزئي ، و ليكن لدينا $U\in\tau A$ و بالتالي :

1) $U$ مجموعة مفتوحة في $\tau$ إذا و فقط إذا كانت $A$ مجموعة مفتوحة في $\tau$ .

2) $U$ مجموعة مغلقة في $X$ إذا و فقط إذا كانت $A$ مجموعة مغلقة في $X$ .

الإثبات :

1) حسب نظرية(1) :

$U\in \tau_A$ إذا و فقط إذا كان يوجد لدينا مجموعة مفتوحة $V\in\tau$ بحيث:

$U=V\cap A$

و لكن $V\cap A$ مجموعة مفتوحة في $\tau$ و بالتالي $U\in \tau$ .

2) بنفس طريقة إثبات فرع (1) مع تطبيق نتيجة (*).

نلاحظ أنه لو تم أخذ متتمة المجموعات في مثال (*) بالنسبة للمجموعة $A=[0,1]$ سنجد جميع المجموعات مغلقة في $\mathbb R$ بسبب أن $A$ مجموعة مغلقة .

لاحظ ذلك :

$[A\cap (a,b)]^{c_{[0,1]}}=\begin{cases} [0,a]\cup[b,1] & a,b \in A\\ [b,1] & b\in A, a\not\in A\\ [0,a] & a\in A,b\not\in A\\ A & a,b\not\in A\\ \phi & a<0, b>1 \end{cases}$