جمع وضرب المجموعات في الحلقات

Sum and Product of Sets(Rings)

جمع وضرب المجموعات في الحلقات

إذا كانت R حلقة و $A,B \subset R$ مجموعات جزئية غير خالية فإننا نعرف حاصل ضربهما $AB$ على أنه مجموعة المجاميع المنتهية لعناصر من الشكل $ab$ حيث $a \in A,\;b \in B$ . أي أن

$AB = \{ \sum\nolimits_{i = 1}^n {a_i b_i } :a_i \in A,\;b_i \in B,n \in \mathbb{Z}^ + \}$

كما نعرف حاصل الجمع $A + B$ كما يلي

$A + B = \{ a + b:a \in A,\;b \in B\}$

أهمية هذه المفاهيم تبرز أكثر حينما تكون $A,B$ حلقات.

حقيقة1: لتكن R حلقة.

(1) إذا كانت $S,T$ زمرتين جزئيتين من الزمرة الجمعية $(R, + )$ فإن كلا من $S + T$ و $ST$ زمرتين جزئيتين من $(R, + )$ .

(2) إذا كانت R حلقة إبدالية وكانت $S,T$ حلقتين جزئيتين من R فإن $ST$ حلقة جزئية من R.

ملخص البرهان:

أولا $S + T$ غير خالية حيث $0 = 0 + 0 \in S + T$ . إذا كان $s,s' \in S$ و $t,t' \in T$ فإن

$(s + t) - (s' + t') = (s - s') + (t - t') \in S + T,$

إذا $S + T$ زمرة جزئية من $(R, + )$ .

بالمثل نثبت أن $ST$ زمرة جزئية من $(R, + )$ . إذا كانت R إبدالية وكان $a_i ,c_j \in S,b_i ,d_j \in T$ فإن

$\left( {\sum\nolimits_{i = 1}^n {a_i b_i } } \right)\left( {\sum\nolimits_{j = 1}^m {c_j d_j } } \right) = \sum\nolimits_{i = 1}^n {\sum\nolimits_{j = 1}^m {(a_i c_j )(b_i d_j )} } \in ST$

وبالتالي $ST$ حلقة جزئية من R.

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

جمع وضرب المجموعات في الحلقات

Sum and Product of Sets(Rings)

جمع وضرب المجموعات في الحلقات

التعليقات

علِّق

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة