النهاية العلوية والسفلية للمجموعات


superior and inferior limit of sets


 

إذا كانت (E_n ) متتابعة لا نهائية من مجموعات جزئية من مجموعة X. تعرف النهاية العلوية superior limit للمتتابعة بأنها المجموعة E^* المكونة من كل عناصر X التي تنتمي إلى E_n لقيم غير منتهية من n ويشار اليها بالرمز

E^* = \lim \mathop {\sup }\limits_n E_n

كما تعرف النهاية السفلية inferior limit للمتتابعة بأنها المجموعة E_* المكونة من كل عناصر X التي تنتمي إلى E_n لجميع قيم n ما عدا عدد منتهي منها ويشار اليها بالرمز

E_{^* } = \lim \mathop {\inf }\limits_n E_n

إذا كانت E^* = E^* نقول أن المتتابعة متقاربة ونستخدم التعبير \lim E_n لدلالة على هذه المجموعة المشتركة.

 

خصائص وحقائق E_{^* } ,E^*

 

وفق التعريف لدينا دائما

E_{^* } \subset E^*

من هذا نستنتج إذا كانت (E_n ) متتابعة لمجموعات منفصلة فإن \lim E_n = \emptyset وذلك لأن E^* = \emptyset ومنه E_* = \emptyset .

أيضا إذا كانت F \subset X فإن

\begin{array}{l} F\backslash E^* = \lim \mathop {\inf }\limits_n (F\backslash E_n ) \\ F\backslash E_* = \lim \mathop {\sup }\limits_n (F\backslash E_n ) \\ \end{array}

بعض المؤلفين يستخدم التقاطع والاتحاد اللانهائية للتعبير عن النهاية العلوية والسفلية, الحقيقة التالية توضح التكافؤ بين هذا وبين التعريف المستخدم.

حقيقة1: إذا كانت (E_n ) متتابعة لا نهائية من مجموعات جزئية من X فإن

\lim \sup E_n = \bigcap\limits_{n = 1}^\infty {\bigcup\limits_{k = n}^\infty {E_k } }

\lim \inf E_n = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty {\bigcap\limits_{k = n}^\infty {E_k } }

البرهان: بداية x \in E^* إذا وإذا فقط كان x في عدد لا نهائي من E_n هذا يكافئ أنx \in \bigcup\limits_{k = n}^\infty {E_k } وذلك لكل n والذي يكافئ x \in \bigcap\limits_{n = 1}^\infty {\bigcup\limits_{k = n}^\infty {E_k } } . بالمثل x \in E_{^* } إذا وإذا فقط وجد n بحيث x \in E_k لكل k \ge n والذي يكافيء وجود n بحيث x \in \bigcap\limits_{k = n}^\infty {E_k } وهذا يكافي x \in \bigcup\limits_{n = 1}^\infty {\bigcap\limits_{k = n}^\infty {E_k } } ويثبت المطلوب.

الحقيقة التالية تبين وجود \lim E_n في حالة المتتابعات المطردة.

حقيقة2: لتكن(E_n ) متتابعة لا نهائية من مجموعات جزئية من X.


1) إذا كانت (E_n ) مطردة تزايديا أي E_n \subset E_{n + 1} لكل n فإن\lim E_n = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty {E_n }

2) إذا كانت (E_n ) مطردة تناقصيا أي E_n \supset E_{n + 1} لكل n فإن \lim E_n = \bigcap\limits_{n = 1}^\infty {E_n }

البرهان:
إثبات الجزء الأول: بما أن E_n \subset E_{n + 1} لكل n فإن

E_{^* } = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty {\bigcap\limits_{k = n}^\infty {E_k } } = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty {E_n } \supset E^*

إذاE_{^* } \supset E^* ولكن E_{^* } \subset E^* دائما إذا E_{^* } = E^* = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty {E_n } .

إثبات الجزء الثاني : بما أن E_n \supset E_{n + 1} لكل n فإن

E^{_{^* } } = \bigcap\limits_{n = 1}^\infty {\bigcup\limits_{k = n}^\infty {E_k } } = \bigcap\limits_{n = 1}^\infty {E_n } \subset E_*

إذاE^{_{^* } } \subset E_{^* } ولكن E_{^* } \subset E^* إذاE_{^* } = E^* = \bigcap\limits_{n = 1}^\infty {E_n } .

 

مبرهنة3: لتكن (E_n ) متتابعة لا نهائية من مجموعات جزئية من X ولتكن C مجموعة كل المجموعات الجزئية الغير منتهية من مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة \mathbb{Z}^ +

عندئذ

\lim \sup E_n = \bigcup\limits_{A \in C} {\bigcap\limits_{i \in A} {E_i } }

\lim \inf E_n = \bigcap\limits_{A \in C} {\bigcup\limits_{i \in A} {E_i } }

البرهان: بالنسبة للجزء الأول من المبرهنة, ليكنx \in \bigcup\limits_{A \in C} {\bigcap\limits_{i \in A} {E_i } } إذا يوجد A \in C
بحيث x \in \bigcap\limits_{i \in A} {E_i } هذا يعني أن x \in E_i وذلك لكل i \in A. إذا x \in E^{_* } لأن A غير منتهية.

عكسيا, افرض أن x \in E^{_* } وعرف B كما يلي:

B = \{ i \in \mathbb{Z}:x \in E_i \}

واضح أن B غير منتهية كما أن x \in \bigcap\limits_{i \in B} {E_i } لذلك x \in \bigcup\limits_{A \in C} {\bigcap\limits_{i \in A} {E_i } } .
إثبات الجزء الثاني من المبرهنة يتم بأسلوب مماثل.

مراجع

التعليقات

علِّق

  • LaTeX formulas are automatically converted into images.
  • بإمكانك استخدام وسوم BBCode في النصوص URLs will automatically be converted to links.
  • تتحول مسارات مواقع وب و عناوين البريد الإلكتروني إلى روابط آليا.

معلومات أكثر عن خيارات التنسيق