الحقل

The Field

تعريف

نقول عن حلقة إبدالية F ذات محايد $1 \ne 0$ أنها حقل إذا كان لكل عنصر غير صفري فيها معكوس بالنسبة لعملية الضرب.

إذ ا الحلقة $F \ne 0$ حقل إذا وإذا فقط كان كلا النظامين $(F, + )$ , $(F^* , \cdot )$ زمرة إبدالية حيث $F^*$ مجموعة العناصر الغير صفرية في F.

أمثلة توضيحية

1. المجموعة $\mathbb{Z}$ مع عملية الجمع والضرب المعتادة حلقة تامة ولكنها ليست حقلا لأنه ليس لكل عدد صحيح a معكوس ضربي.

2. حلقة الصحيحات

$\mathbb{Z}(\sqrt 2 ) = \{ a + b\sqrt 2 :a,b \in \mathbb{Z}\}$

حلقة تامة لكونها إبدالية محايدها $1$ ولا تملك قواسم للصفر ولكنها ليست حقل. فعلى سبيل المثال $2 - \sqrt 2$ ينتمى إلى $\mathbb{Z}(\sqrt 2 )$ ولكن المساواة

$(2 - \sqrt 2 )(2 + \sqrt 2 ) = 2$

تؤدي إلى أن معكوسه $1 + \frac{1}{2}\sqrt 2$ وهو لا ينتمي إلى $\mathbb{Z}(\sqrt 2 )$ .

حقيقة1: كل حقل F هو حلقة تامة.

البرهان: يكفي إثبات أن F خالي من قواسم الصفر لذلك افرض $a,b \in F$ بحيث $ab = 0$ . إذا كان أحدهما غير صفري وليكن $a \ne 0$ فإن له معكوس $a^{ - 1}$ وبالتالي $a^{ - 1} ab = a^{ - 1} 0$ . أي أن $b = 0$ .

المبرهنة التالية مشهورة ولها عدة براهين. سنقدم أحد هذه البراهين ونشير إلى طريقتين أخرى بشكل مختصر.

مبرهنة2: كل حلقة تامة منتهية R هي حقل.

البرهان: بما أن كل حلقة تامة هي إبدالية ذات محايد $1 \ne 0$ يكفي أن نثبت أنه إذا كان $a \in R$ عنصر غير صفري فإن له معكوس (ضربي). من أجل ذلك عرف التطبيق $\lambda _a :R \to R$ بالقانون $\lambda _a (x) = ax$ . بما أن R تامة فهي تحقق قوانين الاختصار في الضرب لذلك

$\lambda _a (x) = \lambda _a (y) \Rightarrow ax = ay \Rightarrow x = y$

إذا $\lambda _a$ أحادي وعليه فإن $\lambda _a$ تقابل لأن R منتهية. إذا يوجد $b \in R$ بحيث $\lambda _a (b) = 1$ أي أن $ab = 1$

طريقة ثانية: لعنصر غير صفري $a \in R$ المجموعة $M = \{ xa:x \in R\}$ مختلفة العناصر كما أن $M = R$ لأن R منتهية. إذا يوجد x في M بحيث $ax = 1$ .

طريقة ثالثة: لعنصر غير صفري $a \in R$ المتتابعة الغير منتهية $a^0 ,a^1 ,a^2 , \ldots$ لابد أن يتكرر ظهور العناصر فيها لأن R منهية. إذا يوجد $m > n$ بحيث $a^m = a^n$ ومنه $a^n (a^{m - n} - 1) = 0$ ثم استنتج أن $a^{m - n} = 1$ .