المثالية الأولية

The Prime Ideal

جدول المحتويات [اخفاء]

تعريف
أمثلة على مثاليات أولية وغير أولية
مبرهنات في المثالية الأولية
المراجع

تعريف

نقول عن مثالية I من حلقة^[م] R أنها أولية إذا كانت $R \ne I$ وكان لكل مثاليتين A,B في R فإن

$AB \subset I\,\,\, \Rightarrow \,\,\,A \subset I\,\,{\text{or}}\,\,B \subset I$

أمثلة على مثاليات أولية وغير أولية

1. المثالي $I = \{ 0\}$ في حلقة تامة هو مثالي أولي لأن إذا كان $a,b \in R$ بحيث $ab \in I$ فإن $ab = 0$ وبالتالي $a = 0$ و $b = 0$ .

2. في الحلقة $\mathbb{Z}_6$ المثالية $I = \{ 0,3\}$ أولية.

3. في الحلقة $\mathbb{Z}_8$ المثالية $I = \{ 0,4\}$ غير أولية حيث $4 = 2 \otimes 2 \in I$ بينما $2 \notin I$ .

4. إذا كان p عدد أولي فإن المثالية $\left\langle p \right\rangle = \{ np:n \in \mathbb{Z}\}$ من الحلقة $\mathbb{Z}$ مثالية أولية لإثبات ذلك افرض أن a,b صحيحين بحيث $ab \in \left\langle p \right\rangle$ يكفي إثبات أن أحدهما ينتمي للمثالية. بما أن $ab \in \left\langle p \right\rangle$ فإن $ab$ مضاعف للعدد p, أي أن $p|ab$ وحيث أن p أولي فإن $p|a$ أو $p|b$ . إذا a أو b ينتمي إلى $\left\langle p \right\rangle$ .

5. في الحلقة $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ تكون $\mathbb{Z} \oplus 0 = \{ (a,0):a \in \mathbb{Z}\}$ مثالية أولية, تأكد من ذلك.

6. في الحلقة $\mathbb{Z}[x]$ المكونة من كل الحدوديات ذات المعاملات الصحيحة المثالية المولدة بواسطة $\{ 2,x\}$ مثالية أولية وتتكون من كل الحدوديات من $\mathbb{Z}[x]$ التي حدها الثابت عدد زوجي, تأكد من ذلك.

7. في الحلقة $\mathbb{Z}(\sqrt { - 5} )$ المثالية $(2)$ ليست أولية. لبيان هذا لاحظ أن

$(1 - \sqrt { - 5} )(1 - \sqrt { - 5} ) = 6 = 2 \cdot 3 \in (2)$

ولكن $1 \pm \sqrt { - 5} \notin (2)$ لأن $\frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt { - 5} }}{2} \notin \mathbb{Z}(\sqrt { - 5} )$ .

مبرهنات في المثالية الأولية

فيما يلي نقدم صيغة بسيطة تعتبر شرطا كافيا لكي تكون I أولية ولكنها بشكل عام ليست شرطا ضروريا. إذا كانت R إبدالية فإنها تصبح ضرورية وكافية لتحقق الأولية على I.

مبرهنة1: إذا كانت $R \ne I$ مثالية في حلقة R بحيث لكل $a,b \in R$ يكون

$ab \in I\,\,\, \Rightarrow \,\,\,a \in I\,\,{\text{or}}\,\,b \in I\quad (*)$

فإن I أولية. وإذا كانت R إبدالية وIالمثالية I أولية فإن الشرط (*) متحقق.

البرهان: افرض أن I مثالية وأن $A,B$ مثاليتين بحيث $AB \subset I$ . إذا كانت أحدى المثاليتين ولتكن A ليست محتواه في I فإن هناك $a \in A\backslash I$ . لأي $b \in B$ فإن $ab \in AB \subset I$ وبالتالي وحسب الشرط (*) فإن $b \in I$ وبالتالي $B \subset I$ . أي أن I أولية.

عكسيا إذا كانت I أي مثالية و $ab \in I$ فإن $(ab) \subset I$ حسب تعريف المثالية الرئيسية. بما أن R إبدالية فإن

$(a)(b) \subset (ab) \subset I$

انظر الصورة العامة لعناصر المثالية الرئيسية. فإذا كانت I أولية فإن $(a) \subset I$ أو $(b) \subset I$ وبالتالي $a \in I$ أو $b \in I$ .

مبرهنة2: إذا كان $\phi :R \to S$ تشاكل من حلقة R إلى حلقة S وكانت P مثالية أولية للحلقة S فإن $I = \phi ^{ - 1} (P)$ مثالية أولية للحلقة R.

مختصر البرهان: يتم بطريقة تقليدية إذا باستخدام المبرهنة أعلاه. فإذا كان $a,b \in R$ فإن

$ab \in I\,\,\, \Rightarrow \,\phi (a)\phi (b) = \phi (ab)\, \in P\, \Rightarrow \,\phi (a)\;{\text{or}}\;\phi (b) \in P\,$

ومنه ينتج أن $a\;{\text{or}}\;b \in I\,$ . إذا I مثالية أولية حسب المبرهنة أعلاه.

مبرهنة3: إذا كانت R حلقة إبدالية ذات محايد $1_R \ne 0$ و P مثالية من R فإن P أولية إذا وإذا فقط كانت $R/P$ حلقة تامة.

البرهان: إذا كانت R إبدالية R ذات محايد $1_R \ne 0$ فإن واضح أن $R/P$ إبدالية محايدها $1_R + P$ كما أن

$1_R + P \ne P$

لأن $P \ne R$ . علاوة على ذلك $R/P$ لا تحوي قواسم للصفر لأن

$(a + P)(b + P) = P \Rightarrow ab + P = P \Rightarrow ab \in P \Rightarrow a \in P{\text{ or }}b \in P$

وبالتالي $a + P = P$ أو $b + P = P$ . إذا $R/P$ حلقة تامة.

عكسيا إذا كانت $R/P$ حلقة تامة فإن $1_R + P \ne P$ لذلك $P \ne R$ . كما أن

$ab \in P \Rightarrow ab + P = P \Rightarrow (a + P)(b + P) = P$

وحيث $R/P$ حلقة تامة فإن $a + P = P$ أو $b + P = P$ لذلك $a \in P$ أو $b \in P$ والذي يعني أن P مثالية أولية.

المراجع

أ.د فالح بن عمران الدوسري, مقدمة في نظرية^[م] الحلقات

ب. هارتلي, ت. هاوكس, الحلقات, الحلقيات والجبر الخطي, ترجمة د. يوسف بن عبد الله الخميس, د. أحمد حميد شراري, جامعة الملك سعود , النشر العلمي والمطابع

Thomas W. Hungerford, ALGEBRA, Springer-Verlag.
I. N. Herstein, Topics in Algebra, John Wiley & Sons.
John R. Durbin, Modern Algebra: An Introduction, John Wiley & Sons.

http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_ideal

http://mathworld.wolfram.com/PrimeIdeal.html

http://www.mathreference.com/ring,primi.html

نبذة عن كاتب الموضوع

$User picture$

الإسم: محترف

عضو مؤسس في شبكة الرياضيات رمز.

علِّق

التعليق: *

Every instance heading tags will be modified to include an id attribute for anchor linking.
Every instance of "" in the input text will be replaced with a collapsible mediawiki-style table of contents. Accepts options for title, list style, minimum heading level, and maximum heading level as follows: . All arguments are optional and defaults are shown.
وسوم html المسموح بها: <a> <i> <p> <b> <center> <em> <strong> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <div> <dir> <span> <br> <br /> <blockquote> <h1> <h2> <h3> <h4> <h5> <h6> <hr> <img> <sub> <sup> <table> <tbody> <thead> <tr> <td>
LaTeX formulas are automatically converted into images.
تتحول مسارات مواقع وب و عناوين البريد الإلكتروني إلى روابط آليا.
Use [fn]...[/fn] (or <fn>...</fn>) to insert automatically numbered footnotes.
Use [# ...] to insert automatically numbered footnotes. Textile variant.
Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically. (Better URL filter.)
Link to content with [[some text]], where "some text" is the title of existing content or the title of a new piece of content to create. You can also link text to a different title by using [[link to this title|show this text]]. Link to outside URLs with [[http://www.example.com|some text]], or even [[http://www.example.com]].
Glossary terms will be automatically marked with links to their descriptions. If there are certain phrases or sections of text that should be excluded from glossary marking and linking, use the special markup, [no-glossary] ... [/no-glossary]. Additionally, these HTML elements will not be scanned: a, abbr, acronym, code, pre.
Images can be added to this post.

معلومات أكثر عن خيارات التنسيق

كلمة التحقق

This question is for testing whether you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.