الجذر التربيعي للعدد المركب

The Square Root of Complex Number

الجذر التربيعي للعدد المركب z هو العدد المركب w الذي يحقق المعادلة $w^2 = z$ ويرمز للجذر التربيعي بالرمز $\sqrt z$ .

حسب النظرية الأساسية للجبر فإن المعادلة $w^2 = z$ لها حلان (جذران) في مجموعة الأعداد المركبة. إذا كان w جذرا تربيعيا للعدد z فإن نظيره الجمعي -w جذرا تربيعيا أيضا وذلك لأن $( - w)^2 = w^2 = z$ .

حقيقة 1: إذا كان z عدد مركب بحيث $r = \left| z \right| = \sqrt {a^2 + b^2 }$ فإن الجذرين التربيعيين له يعطيان بالعلاقة

$\sqrt {a + ib} = \pm \,\,\left( {\sqrt {\frac{{r + a}}{2}} + i\sin b\,\,\sqrt {\frac{{r - a}}{2}} } \right)$

البرهان: افرض أن $w = x + iy$ جذر تربيعي للعدد $z = a + ib$ . إذا كان $b = 0$ فالنتيجة واضحة لذلك افرض أن $b \ne 0$ . إذا

$(x + iy)^2 = a + ib$

بنشر المقدار المربع ومقارنة الجزء الحقيقي والجزء التخيلي في كلا الطرفين نصل إلى أن

$\begin{array}{l} x^2 - y^2 = a \\ 2xy = b \\ \end{array}$

بتربيع المعادلة الثانية والتعويض منها في المعادلة الأولى عن $y^2$ والترتيب نجد أن

$4x^4 - 4ax^2 - b^2 = 0$

وهذه معادلة من الدرجة الثانية في $x^2$ تحل بقانون معادلة الدرجة الثانية وبالتالي

$x^2 = \frac{{4a \pm \sqrt {16a^2 + 16b^2 } }}{8} = \frac{{a \pm \sqrt {a^2 + b^2 } }}{2}$

بما أن $x^2$ غير سالب نهمل الإشارة السالبة لأن $\sqrt {a^2 + b^2 } > a$ . إذا

$x^2 = \frac{{a + \sqrt {a^2 + b^2 } }}{2} = \frac{{a + r}}{2}$

إذا القيمة الموجبة للعدد الحقيقي x هي

$x = \sqrt {\frac{{r + a}}{2}}$

اقسم المعادلة $2xy = b$ على 2x والتعويض عن x والضرب في مرافق الجذر الناتج.

$y = \frac{b}{{2x}} = \frac{b}{{\sqrt 2 \sqrt {r + a} }} = \frac{b}{{\sqrt 2 \sqrt {r + a} }} \times \frac{{\sqrt {r - a} }}{{\sqrt {r - a} }} = \frac{{b\sqrt {r - a} }}{{\sqrt 2 \sqrt {r^2 - a^2 } }}$

$y = \frac{b}{{2x}} = \frac{{ \pm b}}{{\sqrt 2 \sqrt {r + a} }} = \frac{{ \pm b\sqrt {r - a} }}{{\sqrt 2 \sqrt {r + a} \sqrt {r - a} }} = \frac{{ \pm b\sqrt {r - a} }}{{\sqrt 2 \sqrt {r^2 - a^2 } }} = \pm \frac{b}{{\left| b \right|}}\sqrt {\frac{{r - a}}{2}}$

إذا
$y = \pm {\mathop{\rm sgn}} b\sqrt {\frac{{r - a}}{2}}$

حيث ${\mathop{\rm sgn}} (b)$ تعني إشارة العدد b. إذا

$\sqrt {a + ib} = \pm \,\,\left( {\sqrt {\frac{{r + a}}{2}} + i\sin b\,\,\sqrt {\frac{{r - a}}{2}} } \right)$

الصورة المثلثية لجذر العدد المركب
يمكن الوصول لقانون أخر لحساب الجذر التربيعي من خلال الصورة المثلثية للعد المركب. إذا كتبنا العدد المركب z بالصورة المثلثية

$z = r(\cos \theta + i\sin \theta )$

حيث r هي مقياس العدد المركب و $\theta$ سعة أو زاوية^[م] العدد المركب . من نظرية ديموافر

$\left( {\sqrt r \left( {\cos \frac{\theta }{2} + i\sin \frac{\theta }{2}} \right)} \right)^2 = r(\cos \theta + i\sin \theta )$

من هنا نستنتج وبسرعة أحد الجذور التربيعيه للعدد z وحيث الجذران متناظران جمعيا فإن

$\sqrt {a + ib} = \pm \sqrt r \left( {\cos \frac{\theta }{2} + i\sin \frac{\theta }{2}} \right)$

بما أن $\theta = \tan ^{ - 1} \frac{b}{a}$ فإن هذا القانون يمكن كتابته بشكل آخر بدلالة العدد المركب $a + ib$ , كاتالي

$\sqrt {a + ib} = \pm (a^2 + b^2 )^{1/2} \left( {\cos \left( {\frac{1}{2}\tan ^{ - 1} \frac{b}{a}} \right) + i\sin \left( {\frac{1}{2}\tan ^{ - 1} \frac{b}{a}} \right)} \right)$