الشبكة موقع متخصص في عرض علوم الرياضيات في صفحات ثابتة تحتوي كل صفحة على وحدة معرفية معينة.

ترحب الشبكة بكل من يدعم هذا المشروع عن طريق كتابة مواضيع علمية رياضية رصينة

المجموعة الجزئية

The Subsets

تعريف 1: نقول عن مجموعة A أنها مجموعة جزئية subset من مجموعة B إذا كان كل عنصر ينتمي إلى A ينتمي إلى B. ونعبر عن هذا بكتابة

$A \subset B$

إذا كانت $A \subset B$ وكانت $A \ne B$ قلنا أن A جزئية فعلية proper subset من B او A محتواه في B أو المجموعة B تحتوي A.

باستخدام هذا التعريف نحصل على ما يلي

حقيقة 1:
1) إذا كانت A,B مجموعتين فإن A=B إذا وفقط إذا كانت $A \subset B$ و $B \subset A$ .
2) المجموعة الخالية $\emptyset$ جزئية من أي مجموعة A.
3) المجموعة الخالية $\emptyset$ وحيدة.

البرهان:
1) واضح أنه إذا كانت A=B فإن كل عنصر ينتمي إلى أحدهما ينتمي للأخرى وبالتالي $A \subset B$ و $B \subset A$ . على العكس إذا كانت كل واحدة محتواة في الثانية فإن لهما نفس العناصرو إذا A=B.

2) افرض العكس, أن $\emptyset \not \subset A$ هذا يستلزم وجود عنصر a في $\emptyset$ غير موجود في A وهذا مستحيل, إذ أن المجموعة الخالية لا تحتوي على أي عنصر وبهذا يثبت المطلوب.