مساحة المثلث بواسطة المحددات

Triangle Area By Determinants

إذا كانت $A(x_1 ,y_1 ),B(x_2 ,y_2 ),C(x_3 ,y_3 )$ إحداثيات رؤوس المثلث ABC فإن مساحته تعطى بإيجاد القيمة المطلقة للمحدد

$\frac{1}{2}\left| {\begin{array}{*{20}c}{x_1 - x_3 } & {x_2 - x_3 } \\{y_1 - y_3 } & {y_2 - y_3 } \\\end{array}} \right|$

للإثبات أوجد مركبات المتجهين . CA , CB والممثلان لضلعي المثلث المنطلقان من النقطة C,

$\begin{array}{l}u = CA = (x_1 - x_3 )i + (y_1 - y_3 )j \\v = CB = (x_2 - x_3 )i + (y_2 - y_3 )j \\\end{array}$

مساحة المثلث كما نعلم تعادل $\frac{1}{2}\left| {u \times v} \right|$ , اي نصف مساحة متوازي الأضلاع الذي ضلعيه u,v . وحيث

$u \times v = \left| {\begin{array}{*{20}c}i & j & k \\{x_1 - x_3 } & {y_1 - y_3 } & 0 \\{x_2 - x_3 } & {y_2 - y_3 } & 0 \\\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}c}{x_1 - x_3 } & {y_1 - y_3 } \\{x_2 - x_3 } & {y_2 - y_3 } \\\end{array}} \right|k$

فإن القانون ينتج في الحال.

بنشر المحدد في القانون ثم الترتيب نحصل على

$\frac{1}{2}[(x_1 y_2 - x_2 y_1 ) + (x_2 y_3 - x_3 y_2 ) + (x_3 y_1 - x_1 y_3 )]$

والتي يمكن التعبير عنها بدلالة المحدد الثلاثي

$Area = \frac{1}{2}\left| {\begin{array}{*{20}c}1 & 1 & 1 \\{x_1 } & {x_2 } & {x_3 } \\{y_1 } & {y_2 } & {y_3 } \\\end{array}} \right|$

وتعتبرهي الأخرى قانونا في حساب مساحة المثلث مع مراعاة احتساب القيمة المطلقة للناتج.

يوجد طريقة ثانية لاثبات صحة هذا القانون تناسب طبيعة المسألة من حيث هندسيتها. ارسم المثلث ABC في المستوي الديكارتي كما هو مبين في الشكل أدناه.

مساحة المثلث ABC = مساحة ِABEF - مساحة ACF - مساحة BCE .

شبه المنحرف ABEF ارتفاعه $(x_2 - x_1 )$ لذلك مساحته

$A_1 = \frac{1}{2}(x_2 - x_1 )[(y_3 - y_1 ) + (y_3 - y_2 )]$

مساحة المثلث ACF والمثلث BCE هما على الترتيب

$A_2 = \frac{1}{2}(y_3 - y_1 )(x_2 - x_1 )$

$A_3 = \frac{1}{2}(y_3 - y_2 )(x_2 - x_1 )$

إذا

$Area = A_1 - A_2 - A_3 = \frac{1}{2}[(y_3 - y_1 )(x_2 - x_3 ) + (y_3 - y_2 )(x_3 - x_1 )]$

وهذا مفكوك المحدد $3 \times 3$ السابق.

أخيرا نشير الى أنه إذ ا كان المثلث مرسوم في الفضاء الثلاثي الإقليدي ورؤوسه عند الثلاثيات المرتبه $(x_i ,y_i ,z_i )$ حيث i=1,2,3 فإن مساحته تعطى بالقانون

$Area = \frac{1}{2}\sqrt {\left| {\begin{array}{*{20}c}1 & 1 & 1 \\{x_1 } & {x_2 } & {x_3 } \\{y_1 } & {y_2 } & {y_3 } \\\end{array}} \right|^2 + \left| {\begin{array}{*{20}c}1 & 1 & 1 \\{y_1 } & {y_2 } & {y_3 } \\{z_1 } & {z_2 } & {z_3 } \\\end{array}} \right|^2 + \left| {\begin{array}{*{20}c}1 & 1 & 1 \\{z_1 } & {z_2 } & {z_3 } \\{x_1 } & {x_2 } & {x_3 } \\\end{array}} \right|^2 }$

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

مساحة المثلث بواسطة المحددات

Triangle Area By Determinants

التعليقات

علِّق

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة