مساحة المثلث بواسطة المحددات

Triangle Area By Determinate

إذا كانت $A(x_1 ,y_1 ),B(x_2 ,y_2 ),C(x_3 ,y_3 )$ إحداثيات رؤوس المثلث ABC فإن مساحته تعطى بإيجاد القيمة المطلقة للمحدد

$\frac{1}{2}\left| {\begin{array}{*{20}c}{x_1 - x_3 } & {x_2 - x_3 } \\{y_1 - y_3 } & {y_2 - y_3 } \\\end{array}} \right|$

للإثبات أوجد مركبات المتجهين . CA , CB والممثلان لضلعي المثلث المنطلقان من النقطة C,

$\begin{array}{l}u = CA = (x_1 - x_3 )i + (y_1 - y_3 )j \\v = CB = (x_2 - x_3 )i + (y_2 - y_3 )j \\\end{array}$

مساحة المثلث كما نعلم تعادل $\frac{1}{2}\left| {u \times v} \right|$ , اي نصف مساحة متوازي الأضلاع الذي ضلعيه u,v . وحيث

$u \times v = \left| {\begin{array}{*{20}c}i & j & k \\{x_1 - x_3 } & {y_1 - y_3 } & 0 \\{x_2 - x_3 } & {y_2 - y_3 } & 0 \\\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}c}{x_1 - x_3 } & {y_1 - y_3 } \\{x_2 - x_3 } & {y_2 - y_3 } \\\end{array}} \right|k$

فإن القانون ينتج في الحال.

بنشر المحدد في القانون ثم الترتيب نحصل على

$\frac{1}{2}[(x_1 y_2 - x_2 y_1 ) + (x_2 y_3 - x_3 y_2 ) + (x_3 y_1 - x_1 y_3 )]$

والتي يمكن التعبير عنها بدلالة المحدد الثلاثي

$Area = \frac{1}{2}\left| {\begin{array}{*{20}c}1 & 1 & 1 \\{x_1 } & {x_2 } & {x_3 } \\{y_1 } & {y_2 } & {y_3 } \\\end{array}} \right|$

وتعتبرهي الأخرى قانونا في حساب مساحة المثلث مع مراعاة احتساب القيمة المطلقة للناتج.

يوجد طريقة ثانية لاثبات صحة هذا القانون تناسب طبيعة المسألة من حيث هندسيتها. ارسم المثلث ABC في المستوي الديكارتي كما هو مبين في الشكل أدناه.

مساحة المثلث ABC = مساحة ِABEF - مساحة ACF - مساحة BCE .

شبه المنحرف ABEF ارتفاعه $(x_2 - x_1 )$ لذلك مساحته

$A_1 = \frac{1}{2}(x_2 - x_1 )[(y_3 - y_1 ) + (y_3 - y_2 )]$

مساحة المثلث ACF والمثلث BCE هما على الترتيب

$A_2 = \frac{1}{2}(y_3 - y_1 )(x_2 - x_1 )$

$A_3 = \frac{1}{2}(y_3 - y_2 )(x_2 - x_1 )$

إذا

$Area = A_1 - A_2 - A_3 = \frac{1}{2}[(y_3 - y_1 )(x_2 - x_3 ) + (y_3 - y_2 )(x_3 - x_1 )]$

وهذا مفكوك المحدد $3 \times 3$ السابق.

أخيرا نشير الى أنه إذ ا كان المثلث مرسوم في الفضاء الثلاثي الإقليدي ورؤوسه عند الثلاثيات المرتبه $(x_i ,y_i ,z_i )$ حيث i=1,2,3 فإن مساحته تعطى بالقانون

$Area = \frac{1}{2}\sqrt {\left| {\begin{array}{*{20}c}1 & 1 & 1 \\{x_1 } & {x_2 } & {x_3 } \\{y_1 } & {y_2 } & {y_3 } \\\end{array}} \right|^2 + \left| {\begin{array}{*{20}c}1 & 1 & 1 \\{y_1 } & {y_2 } & {y_3 } \\{z_1 } & {z_2 } & {z_3 } \\\end{array}} \right|^2 + \left| {\begin{array}{*{20}c}1 & 1 & 1 \\{z_1 } & {z_2 } & {z_3 } \\{x_1 } & {x_2 } & {x_3 } \\\end{array}} \right|^2 }$

نبذة عن كاتب الموضوع

$User picture$

الإسم: محترف

عضو مؤسس في شبكة الرياضيات رمز.

علِّق

التعليق: *

Every instance heading tags will be modified to include an id attribute for anchor linking.
Every instance of "" in the input text will be replaced with a collapsible mediawiki-style table of contents. Accepts options for title, list style, minimum heading level, and maximum heading level as follows: . All arguments are optional and defaults are shown.
وسوم html المسموح بها: <a> <i> <p> <b> <center> <style> <em> <strong> <cite> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <div> <dir> <span> <style> <br> <br /> <blockquote> <h1> <h2> <h3> <h4> <h5> <h6> <hr> <img> <sub> <sup> <table> <tbody> <tfoot> <th> <thead> <tr> <td> <dd>
LaTeX formulas are automatically converted into images.
بإمكانك استخدام وسوم BBCode في النصوص URLs will automatically be converted to links.
تتحول مسارات مواقع وب و عناوين البريد الإلكتروني إلى روابط آليا.
Use [fn]...[/fn] (or <fn>...</fn>) to insert automatically numbered footnotes.
Use [# ...] to insert automatically numbered footnotes. Textile variant.
Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically. (Better URL filter.)
Link to content with [[some text]], where "some text" is the title of existing content or the title of a new piece of content to create. You can also link text to a different title by using [[link to this title|show this text]]. Link to outside URLs with [[http://www.example.com|some text]], or even [[http://www.example.com]].
Glossary terms will be automatically marked with links to their descriptions. If there are certain phrases or sections of text that should be excluded from glossary marking and linking, use the special markup, [no-glossary] ... [/no-glossary]. Additionally, these HTML elements will not be scanned: a, abbr, acronym, code, pre.
Images can be added to this post.

معلومات أكثر عن خيارات التنسيق

كلمة التحقق

This question is for testing whether you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.