الأعداد المثلثية

Triangular Numbers

تعريف

يعرف العدد المثلثي (أو الثلاثي) $T_n$ triangular number على أنه مجموع أول n عددا من الأعداد الصحيحة الموجبة, أي أن

$T_n = 1 + 2 + \cdots + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}$

متتابعة هذه الأعداد هي (http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000217):

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ....

خصائص العدد المثلثي

1) مجموع عددين مثلثين متتابعين عدد مربع. تحديدا $T_n + T_{n - 1} = n^2$ وذلك لأن

$T_n + T_{n - 1} = \left( {\frac{{n^2 }}{2} + \frac{n}{2}} \right) + \left( {\frac{{\left( {n - 1} \right)^2 }}{2} + \frac{{n - 1}}{2}} \right) = \left( {\frac{{n^2 }}{2} + \frac{n}{2}} \right) + \left( {\frac{{n^2 }}{2} - \frac{n}{2}} \right) = n^2$

هذا أيضا واضح من خلال الرسم التالي الممثل ل $T_5 + T_4$ .

2) مجموع أول n عددا مثلثيا يساوي $\left( \begin{array}{c} n + 2 \\ 3 \\ \end{array} \right)$ .

3) الدالة المولدة لمتتابعة الأعداد المثلثية هي $\sum\limits_{n = 0}^\infty {T_n x^n = } \frac{1}{{(1 - x)^3 }}$

4) كل عدد صحيح موجب يمكن كتابته كحاصل جمع ثلاثة أعداد مثلثية أو أقل.

متطابقات في الأعداد المثلثية

$\begin{array}{*{20}c} {T_{a + b} } \hfill & { = T_a + T_b + ab} \hfill \\ {T_{ab} } \hfill & { = T_a T_b + T_{a - 1} T_{b - 1} } \hfill \\\end{array}$

اختبار الأعداد المثلثية

لاختبار ما إذا كان العدد الصحيح الموجب m عدد مثلثي نحسب المقدار

$x = \frac{{\sqrt {8m + 1} - 1}}{2}$

فإذا كان x عدد صحيح فإن $T_x = m$ . هذه العلاقة ناتج مباشر من $T_n = \frac{{n(n + 1)}}{2}$ حيث $8T_n = 4n^2 + 4n$ .

العدد المثلثي في المتتابعات الهندسية

كان الرياضي سيربنسكي Sierpinski قد طرح سؤالا فيما إذا كان هناك أربعة أعداد مثلثية في تتابع هندسي أم لا. الرياضي بينيت Bennett قدم حدسه بالنفي على هذا التساؤل. في العام 2007 ميلادي أثبتت صحة هذا الحدس. أي أنه لا يوجد أربعة أعداد مثلثية تمثل متتابعة هندسية. بالمناسبة يوجد ثلاثة أعداد مثلثية في تتابع هندسي وهي $(T_1 ,\;T_3 ,\;T_8 ) = (1,\;6,\;36)$ .

مراجع

http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/numbers.shtml#square
http://en.wikipedia.org/wiki/Triangular_number
Jin-Hui Fang1 Department of Mathematics, Nanjing Normal University, Nanjing 210097, P. R. China.
NONEXISTENCE OF A GEOMETRIC PROGRESSION THAT CONTAINS
FOUR TRIANGULAR NUMBERS,
ELECTRONIC JOURNAL OF COMBINATORIAL NUMBER THEORY 7 (2007), #A57

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

الأعداد المثلثية

Triangular Numbers

تعريف

خصائص العدد المثلثي

متطابقات في الأعداد المثلثية

اختبار الأعداد المثلثية

العدد المثلثي في المتتابعات الهندسية

مراجع

التعليقات

لما لا تكون المراجع المقترحة

علِّق

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة