Truth Values and Truth Tables

قيم الصواب truth values :

كما قلنا القضية هي جملة خبرية يشترط فيها أن تكون إما صواب لا تحتمل الخطأ أو أن تكون تكون خطأ لا تحتمل الصواب.

و اتفق على أنه إذا كانت قضية ما صائبة نقول أنها تأخذ قيمة الصواب أما إذا كانت خاطئة فإنها تأخذ قيمة الخطأ .


كما نعلم تتكون القضية المركبة من قضيتين أو أكثر ترتبط ببعضها البعض بأدوات الربط التي رأينا بعضا منها فيما سبق.

و نظرا لأن القضايا المركبة تتكون من عدد من القضايا البسيطة فإن قيمة الصواب للقضية المركبة تتحدد تماما بقيم الصواب لتلك القضايا البسيطة.

لذا يمكننا الحكم على قضية ما مركبة ما إذا كانت صواب أو خطأ إذا كنا نعلم قيمة الصواب لكل قضية من قضايا ها الجزئية،

ملاحظة:

يترجم المصطلح Truth value في الغالب إلى قيم الصدق و كذلك يترجم المصطلح truth table إلى جداول الصدق و نحن نعتقد أن هذه التسميات تعتبر تجاوزا صحيحة لأن الأصل في الجملة الخبرية أنها جملة تحتمل الصدق و الكذب و لكن ليس هذا المقصود بالصواب و الخطأ هنا. لأن المنطق الرياضي يضيف شرط لكي تعتبر الجملة الخبرية قضية أن تكون صوابا لا تحتمل الخطأ أو أن تكون خطأ لا تحتمل الصواب. و بالتالي الصواب كمفهموم هنا لا يقابل الصدق .

كما أننا في المنطق الرياضي نحاول الوصول إلى لغة واضحة و موحدة يمكن من خلالها قراءة و استيعاب المفاهيم و استخدامها في التعبير عن الحقائق و المفاهيم و في البرهنة . و في كل هذا لا يوجد مكان للكذب.

جدول الصواب و الخطأ (جدول الحقيقة المنطقي) Truth table:

قلنا أننا إذا أردنا معرفة قيمة الصواب لقضية ما فإنه يلزم لذلك معرفة قيمة الصواب لكل قضية من قضاياها الجزئية .

فإذا كانت قيم الصواب للقضايا الجزئية لم تتحدد بعد يتوجب علينا أن ناخذ كل امكانات الصواب و الخطأ لكل قضية من قضاياها الجزئية .

و يتم ذلك من خلال تكوين جداول معينة تسمى حداول الصواب و الخطأ (جداول الحقيقة المنطقية).

في البداية نريد أن ننوه لأنه إذا كانت القضية المركبة تتكون من عدد من القضايا فإن عدد الإمكانات المختلفة لقيم الصواب لقضاياها الجزئية هو . (لماذا) ؟

لذا فإننا نحتاج لكي نحدد قيمة الصواب لقضية ما إلى تحديد قيم الصواب ل قضية تشكل كل منها إمكانية معينة لكون كل قضية من قضاياها الجزئية صواب أو خطأ.

فمثلا لقضية مركبة من قضيتين بسيطتين كما سنرى نحتاج لجدول من 4 صفوف

أما إذا إذا كانت القضية تتكون من ثلاث قضايا بسيطة نحتاج لجدول من 8 صفوف

و هكذا نجد أن عدد الإمكانات يتضاعف بزيادة عدد القضايا البسيطة قضية واحدة في الجملة المركبة.

مثال :

كون جدول الصواب و الخطأ للقضية .

بحسب تعريف اداة الربط و نظرا لأن عدد القضايا البسيطة 2، فإن الجدول سيتكون من 4 صفوف
و سيأخذ الشكل التالي :





مثال :

كون جدول الصواب و الخطأ المقابل للقضية

بالرجوع لتعريف أداة الربط نجد أن جدول الصواب للقضية هو كالتالي :





مثال :

كون جدول الصواب و الخطأ للقضية التالية

كما نرى القضية المركبة السابقة تتكون من قضيتين بسيطتين لذا نحتاج 4 صفوف . و لكي يكون عملنا واضحا نحتاج أولا للحصول على قيمة الصواب للقضية و للقضية قبل القضية .

لذا سيكون الجدول كالتالي :





أسئلة :

1- كيف سيكون الجدول لو تغير مكان الأقواس في القضية السابقة إلى ؟

2- كون جدول الصواب و الخطأ للقضية ؟

ماذا تلاحظ ؟


لو نظرنا إلى المثال السابق و السؤال التي يليه يمكننا أن نلاحظ أنهما يؤكدان أهمية الترتيب الذي نوليه لأدوات الربط، لأنه باختلاف الترتيب يختلف فهمنا للقضية، و يمكننا إدراك ذلك بسهولة من خلال مقارنة جداول الصواب و الخطأ لكل من القضية و القضية ، و من هنا يجب التنبية للملاحظة التالية :


ملاحظة :

إذا احتوت القضية المركبة أكثر من أداة ربط فإننا يجب أن نستعمل الأقواس لتوضيح القضايا التي تربط بينها أو تتبع لها كل أداة من أدوات الربط،

و للتسهيل فقد اتفق على أنه ما لم توجد أقواس فإن

1- رابط النفي يتبع أول قضية بسيطة تتبعه

2- إن وجد رابطي الاتحاد و التقاطع في قضية ما فإننا نجري عملية التقاطع أولا ثم الاتحاد

3- إن استخدمت نفس أداة الربط في القضية أكثر من مرة فإننا نبدأ بتطبيق تلك الأدوات من اليسار إلى اليمين

و الأمثلة التالية توضح ذلك :

أمثلة :













مثال :

كون جدول الصواب و الخطأ للقضية

لاحظ التشابه بين هذا المثال و المثال السابق ، و لكن بفارق أن لدينا هنا ثلاث قضايا بسيطة مختلفة

لذا سنحتاج إلى 8 صفوف كما نرى في جدول الصدق التالي :

الصيغ المتكافئة للقضايا Equivalent prpositional forms:

يقال لقضيتين أن صيغتيهما متكافئتان إذا كان لكل منهما نفس جدول الصواب و الخطأ.

ملاحظة :

لا يدرس التكافؤ للقضايا نفسها لأن القضية لها فقط إمكانيتان إما أن تكون خطأ و إما أن تكون صواب.

و على هذا تكون كل القضايا الصواب متكافئة و كل القضايا الخطأ متكافئة،
و لكننا هنا نهتم بدراسة التكافؤ للقضايا ذات الصيغ التي تختلف في الشكل و لكنها قد تؤدي نفس المعنى في كل الأحوال كما نرى في الأمثلة التالية

مثال :

هل صيغتا القضيتين متكافئتان؟

نلاحظ من خلال الجدول التالي :




إن العمود الذي يمثل و العمود الذي يمثل متماثلان،

و هذا يعني أنه متى أخذت القضية قيمة الصواب فإن تأخذ أيضا قيمة الصواب و العكس بالعكس.

مثال :

أثبت أن صيغتي القضيتين متكافئتان.

نلاحظ من جدول الصواب و الخطأ التالي تطابق عمودي الصيغتين



و من ثم فهما متكافئتان .

مثال :

أثبت أن صيغتي القضيتين متكافئتان.

نلاحظ ذلك بالفعل من جدول الصواب و الخطأ التالي حيث يتطابق عمودي الصيغتين .




أسئلة :


1- أثبت أن الأزواج التالية من الصيغ متكافئة؟

أ - .

ب-

2- هل الصيغتان التاليتان متكافئتان