الدالة المحدبة

Convex Function

تعرف 1 ( الدالة^[م] المحدبة ): نقول عن دالة^[م] $f:I \to \mathbb{R}$ معرفة على فترة $I$ أنها دالة^[م] محدبة convex (على الفترة $I$ ) إذا كان

$f(\lambda x + (1 - \lambda )y) \leqslant \lambda f(x) + (1 - \lambda )f(y)$

وذلك لكل $x,y \in I$ ولأي $\lambda \in \left[ {0,1} \right]$ . وتسمى $f$ محدبة فعليا strictly convex إذا كان

$f(\lambda x + (1 - \lambda )y) < \lambda f(x) + (1 - \lambda )f(y)$

وذلك لكل $x,y \in I$ بشرط $x \ne y$ ولأي $\lambda \in (0,1)$ .

يمكن صياغة التعريف بأسلوب أخر فنقول أن $f$ محدبة إذا كان لكل $x,y \in I$ ولأي $a,b \in \left[ {0,1} \right]$ بحيث $a + b = 1$ فإن:

$f(ax + by) \leqslant af(x) + bf(y)$

المعنى الهندسي للتحدب

التركيب $\lambda x + (1 - \lambda )y$ عبارة عن نقطة بين $x$ و $y$
والتركيب $\lambda f(x) + (1 - \lambda )f(y)$ عبارة عن نقطة على القطعة المستقيمة الواصلة بين $f(x)$ و $f(y)$ ولذلك شرط التحدب يعني انه لأي $x,y \in I$ فإن منحنى الدالة^[م] المقابل للفترة $[x,y]$ يقع أسفل الخط المستقيم الواصل بين النقطتين $f(x)$ و $f(y)$ . بصورة عامة منحنى الدالة^[م] المحدبة يقع بكامله أسفل الخط المستقيم الواصل بين طرفي فترة مجال الدالة^[م].

العديد من الدوال^[م] المألوفة هي دوال محدبة . الدوال^[م] التالية محدبة فعليا على المجال الموضح.

1. الدالة^[م] $f(x) = x^{2n}$ حيث $x \in \mathbb{R}$ و $n \in \mathbb{Z}^ +$

2. الدالة^[م] $f(x) = x^{2n + 1}$ حيث $x \geqslant 0$ و $n \in \mathbb{Z}^ +$

3. الدالة^[م] $f(x) = \tan x$ على الفترة $[0,{\pi \mathord{\left/{\vphantom{\pi 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2})$ .

4. الدالة^[م] الأسية $f(x) = e^x$ وكذلك أي دالة^[م] أسية $f(x) = a^x$ .

حقيقة 1: إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق على الفترة $I$ فإنها تكون محدبة على $I$ إذا وفقط إذا كانت

$f(y) \geqslant f(x) + f '(x)(y - x)$

وذلك لكل $x,y \in I$
.

الإثبات: افرض أن $f$ محدبة على $I$ . إذا لأي $\lambda \in (0,1)$ فإن

$\lambda f(y) + (1 - \lambda )f(x) \geqslant f(\lambda y + (1 - \lambda )x)$

$\lambda (f(y) - f(x)) + f(x) \geqslant f(\lambda (y - x) + x)$

بنقل $f(x)$ ثم القسمة على $\lambda$ ووضع $y - x$ في البسط والمقام

$f(y) - f(x) \geqslant \frac{{f(\lambda (y - x) + x) - f(x)}}{{\lambda (y - x)}}(y - x)$

وبأخذ النهاية عندما $\lambda \to 0$ نحصل على المطلوب الأول

$f(y) - f(x) \geqslant f'(x)(y - x)$

الآن افرض العكس ولتكن $x,y \in I$ . ولتكن $z = \lambda f(x) + (1 - \lambda )f(y)$ . إذا

$f(x) \geqslant f(z) +f'(z)(x - z)$

$f(y) \geqslant f(z) +f'(z)(y - z)$

بضرب المتباينة الأولى في $\lambda$ والثانية في $1 - \lambda$ ثم الجمع

$\begin{gathered} \lambda f(x) + (1 - \lambda )f(y) \geqslant f(z) + f'(z)(\lambda x) + (1 - \lambda )y - z) \\ = f(z) + f'(z)(z - z) \\ = f(\lambda x) + (1 - \lambda )y) \\ \end{gathered}$

إذا $f$ محدبة.

ملاحظة: لو كانت المتباينتين في بداية الشق الثاني من الإثبات دقيقتين (أي علامة التباين هي $>$ ) فإن هذا يقتضي أن تكون الدالة^[م] محدبة فعليا. سنحتاج هذه الملاحظة والحقيقة بكاملها لإثبات.

نظرية1: الدالة^[م] $f:I \to \mathbb{R}$ القابلة للاشتقاق مرتين على الفترة $I$ تكون محدبة على $I$ إذا وفقط إذا كانت $f''(x) \geqslant 0$ لكل $x,y \in I$ وتكون محدبة فعليا على $I$ إذا كانت $f''(x) > 0$ لكل $x,y \in I$ .

الإثبات : لتكن $x,y \in I$ . من نظرية تايلور يوجد $z$ بين العددين بحيث

$f(y) = f(x) + (y - x)f'(x) + \frac{{(y - x)^2 }}{2}f''(z)$

وبالتالي

$f(y) - f(x) - (y - x)f'(x) = \frac{{(y - x)^2 }}{2}f''(z)$

يتضح من الطرف الأيسر ومن حقيقة 1 أن $f''(x) \geqslant 0$ إذا وفقط إذا كانت $f$ محدبة. ويتضح أيضا أنه إذا كانت $f''(x) > 0$ لكل x فإن الطرف الأيسر موجب دائما وهذا يقتضي أن تكون $f$ محدبة فعليا كما أشارت الملاحظة السابقة.

حقيقة 2: إذا كانت $f$ دالة^[م] محدبة على الفترة $(a,b)$ وكان $a < s < t < u < b$ فإن

$\frac{{f(s) - f(t)}}{{s - t}} \leqslant \frac{{f(u) - f(s)}}{{u - s}} \leqslant \frac{{f(u) - f(t)}}{{u - t}}$

بما أن العدد t يقع بين $s,u$ فيمكن كتابته بالشكل $t = \lambda s + (1 - \lambda )u$ حيث $\lambda = \frac{{u - t}}{{u - s}}$ . واضح أن $\lambda \in (0,1)$ لذلك

$f(t) \leqslant \lambda f(s) + (1 - \lambda )f(u) = \frac{{u - t}}{{u - s}}f(s) + \frac{{t - s}}{{u - s}}f(u)$

بالضرب في $(u - s)$ نحصل على المتباينة

$(u - t)f(s) + (t - s)f(u) - (u - s)f(t) \geqslant 0$

هذه المتباينة يمكن كتابتها بطريقتين هما

$\begin{gathered} (t - s)(f(u) - f(s)) \geqslant (u - s)(f(t) - f(s)) \hfill \\ (u - s)(f(u) - f(t)) \geqslant (u - t)(f(u) - f(s)) \hfill \\ \end{gathered}$

وهما بالضبط المتباينتين المطلوب إثباتها.

نظرية 2: إذا كانت $f$ دالة^[م] محدبة على الفترة $(a,b)$ فإنها متصلة.

هذه النظرية ليست مباشرة والحقيقة 2 مهمة في إثباتها ويمكن تلخيص الإثبات بأخذ الجوار

$[x - \delta ,x + \delta ] \subset (a,b)$

لنقطة اختيارية x . إذا كانت y من نقاط الجوار وعلى يسار النقطة x فباستخدام الحقيقة أعلاه يمكن اثبات أن

$\frac{{f(x) - f(x - \delta )}}{\delta } \leqslant \frac{{f(y) - f(x)}}{{y - x}} \leqslant \frac{{f(x + \delta ) - f(x)}}{\delta }$

بالمثل إذا كانت y من نقاط الجوار وعلى يمين النقطة x نصل إلى متباينات مشابهة . من كل هذه المتباينات نستنتج أن الدالة^[م] $f$ تحقق شرط لينتز, بمعنى

$\left| {f(x) - f(y)} \right| \leqslant c\left| {x - y} \right|,\quad {\text{for all }}y \in (x - \delta ,x + \delta )$

وهذا الشرط يقتضي اتصال الدالة^[م] $f$ .

من أكثر الحقائق ارتباطا بالدالة المحدبة متباينة (متفاوتة) جنسن Jensen's Inequality وهي ذات دور بارز في إثبات عدة متباينات هامة.

تنص متباينة جنسن على أنه إذا كانت $f:I \to \mathbb{R}$ دالة^[م] محدبة فإن

$f(\lambda _1 x_1 + \lambda _2 x_2 + \cdots + \lambda _n x_n ) \leqslant \lambda _1 f(x_1 ) + \lambda _2 f(x_2 ) + \cdots + \lambda _n f(x_n )$

حيث $x_1 , \cdots ,x_2 \in I$ و $\lambda _1 , \cdots ,\lambda _n \in \left[ {0,1} \right]$ بشرط $\lambda _1 + \lambda _2 + \cdots + \lambda _n \in \left[ {0,1} \right]$
.