مركز زمرة والمركزة

Center of Group and Centralizer

تعريف 1: لتكن $G$ زمرة. ولتكن $S \subset G$ . نعرف مركزة $S$ في $G$ على أنه المجموعة :

$C_G (S) = \{ a \in G:as = sa,\;\forall s \in S\}$

إذا مركزة $S$ هي مجموعة كل العناصر من $G$ التي تتبادل مع أي عنصر من $S$ . إذا لم نخش الالتباس يمكن إسقاط الدليل السفلي ونكتب $C(S)$ للدلالة على مركزة $S$ في $G$ .

مركزة العنصر $g \in G$ هو مركزة المجموعة المفردة $S = \{ g\}$ ونرمز له $C(g)$ بدلا من $C(\{ g\} )$ , إذا

$C_G (g) = \{ a \in G:ag = ga\}$

في حالة ما تكون $S$ هي الزمرة $G$ نفسها فنستخدم رمز خاص $Z(G)$ ويقرأ مركز الزمرة $G$ . إذا مركز الزمرة هو مجموعة العناصر التي تتبادل مع كل عناصر الزمرة.

$Z(G) = \{ a \in G:ax = xa,\;\forall a \in G\}$

حقيقة1: إذا كانت $S$ مجموعة جزئية من زمرة $G$ فإن $C(S)$ زمرة جزئية من $G$ و $Z(G)$ ناظمية في $G$ .

الإثبات: أولا $C(S)$ مجموعة غير خالية لاحتوائها المحايد. ليكن $a,b \in C(S)$ . واضح أن $bs = sb$ تقتضي أن $b^{ - 1} s = sb^{ - 1}$ وذلك من خلال التأثير بالعنصر $b^{ - 1}$ مرتين متتاليتين, مرة من جهة اليمين وأخرى من جهة اليسار. إذا عندما $s \in S$ فإن

$(ab^{ - 1} )s = a(b^{ - 1} s) = a(sb^{ - 1} ) = (as)b^{ - 1} = (sa)b^{ - 1} = s(ab^{ - 1} )$

إذا $ab^{ - 1} \in C(S)$ وبالتالي $C(S)$ زمرة جزئية من $G$ .

بالنسبة لناظمية $Z(G)$ خذ $a \in Z(G)$ وليكن $g \in G$ عنصر اختياري. إذا

$ag = ga \Rightarrow agg^{ - 1} = gag^{ - 1} \Rightarrow a = gag^{ - 1}$

إذا $gag^{ - 1} \in Z(G)$ وهذا يثبت ناظمية $Z(G)$ في $G$ .

تمارين:

إذا كانت $G$ زمرة. بين أن $Z(G) = \bigcap\limits_{g \in G}{C_G } (g)$ .
إذا كانت $G$ زمرة. بين أن $a \in Z(G)$ إذا وفقط إذا $C(a) = G$ .
إذا كانت $a,b$ عنصرين من الزمرة $G$ , وضح أن $b \in C(a)$ إذا وفقط إذا $a \in C(b)$ . ومن ثم اختبر فيما إذا كانت العلاقة $\sim$ المعرفة بالصيغة ( $a \sim b \Leftrightarrow a \in C(b)$ ) علاقة تكافؤ على الزمرة. أوجد تمركز العنصر $\left({\begin{array}{*{20}c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{array}}\right)$ في الزمرة $GL(2,\mathbb{R})$ .
في زمرة التباديل $S_6$ اوجد تمركز التبديلة $(123)(456)$ .