منطقة التحليل الوحيد

Unique Factorization Domain (UFD)

تعريف

نقول عن حلقة تامة R أنها منطقة تحليل وحيد (م.ت.و) إذا تحقق ما يلي:

(1) كل عنصر غير صفري a يمكن كتابته كحاصل ضرب لعناصر غير قابلة للتحليل, أي على الصورة $a = ua_1 a_2 \ldots a_n$ حيث u عنصر وحدة و $a_i$ عناصر غير قابلة للتحليل و $n \geqslant 0$ .

(2) أن يكون هذا التمثيل وحيد بالنسبة للتشارك. بمعنى أنه إذا أعطيت التفريقين decompositions التاليين

$vb_1 b_2 \ldots b_m = ua_1 a_2 \ldots a_n$

حيث $u,v$ عنصري وحدة و $a_i ,\;b_i$ عناصر غير قابلة للتحليل فإن $m = n$ كما يوجد تبديلة $\pi$ على $\{ 1,2, \cdots ,n\}$ بحيث $a_i ,\;b_{\pi (i)}$ متشاركان.

ملاحظة

الشرط الثاني يبين أنه إذا كان $a = ua_1 a_2 \ldots a_n$ حيث $u$ عنصر وحدة و $a_i$ عناصر غير قابلة للتحليل فإن أي تفريق آخر للعنصر a سيكون على الشكل $vb_1 b_2 \ldots b_n$ حيث $u,v$ عنصري وحدة و $a_i ,\;b_i$ عناصر غير قابلة للتحليل يمكن إعادة ترتيبها وترقيمها بحيث يكون $a_i ,b_i$ متشاركان.

من ناحية أخرى إذا كان $a = ua_1 a_2 \ldots a_n$ تفريق للعنصر a إلى حاصل ضرب عناصر غير قابلة للتحليل $a_i$ حيث u عنصر وحدة فإننا بكتابة $a_i = u_i b_i$ حيث $a_i ,b_i$ متشاركان و $u_i$ عناصر وحدة نجد أن

$a = a = ua_1 a_2 \ldots a_n = vb_1 b_2 \ldots b_n$

حيث $v = uu_1 u_2 \ldots u_n$ عنصر وحدة. لهذا السبب فإن الشرط (2) في تعريف منطقة التحليل الوحيد هو أقوى جملة ممكنة للتعبير عن وحدانية التحليل في الحلقات.

حقائق ومبرهنات

حقيقة1: إذا كانت R منطقة تحليل وحيد وكان $p \in R$ غير قابل للتحليل فإن p أولي.

البرهان: ليكن p غير قابل للتحليل وأن $p|ab$ . إذا $ab = pc$ إذا كان a عنصر وحدة فإن $ua = 1$ لعنصر $u \in R$ وبالتالي $b = upc$ أي أن $p|b$ . بالمثل إذا كان b عنصر وحدة فإن $p|a$ . لذا نفرض أن a,b ليست عناصر وحدة. إذا

$a = p_1 p_2 \ldots p_m ,\quad b = q_1 q_2 \ldots q_n$

حيث $p_i ,q_i \in R$ عناصر غير قابلة للتحليل.

إذا كان c في المساواة $ab = pc$ عنصر وحدة فإنه يوجد $v \in R$ بحيث $cv = 1$ وبالتالي $abv = p$ . ولكن p غير قابل للتحليل. إذا إما $av$ عنصر وحدة وبالتالي a مثله وهذا مستحيل (مناقض للفرض) وإما $bv$ عنصر وحدة وبالتالي b مثله وهذا مستحيل أيضا. إذا c ليس عنصر وحدة وبالتالي

$c = r_1 r_2 \ldots r_k$

حيث $r_i \in R$ عناصر غير قابلة للتحليل. من $ab = pc$ يكون لدينا

$p_1 p_2 \ldots p_m _1 q_2 \ldots q_n = pr_1 r_2 \ldots r_k$

وحيث R منطقة تحليل وحيد فإن p متشارك مع عنصر $p_i$ أو عنصر $q_j$ . إذا $p|a$ أو $p|b$ . إذا p عنصر أولي.

حقيقة2: لتكن R حلقة تامة تحقق الشرط (1) من تعريف منطقة التحليل الوحيد. عندئذ فإن R منطقة تحليل وحيد إذا وإذا فقط كانت $(p)$ أولية لكل عنصر غير قابل للتحليل $p \in R$ .

البرهان: افرض أن R منطقة تحليل وحيد. اختر $p \in R$ عنصر غير قابل للتحليل وافرض أن $ab \in (p)$ . إذا يوجد $c \in R$ بحيث $ab = cp$ . بما أن R منطقة تحليل وحيد فإنه بتفريق كلا من a,b في هذه المساواة $ab = cp$ إلى عناصر غير قابلة للتحليل فإن الطرف الأيسر يحوي عنصر متشارك مع p وليكن q. إذا $q = up$ حيث u عنصر وحدة وبالتالي p يقسم a أو يقسم b. أي أن $a \in (p)$ أو $b \in (p)$ وعليه تكون $(p)$ أولية.

عكسيا, افرض أن $p_1 p_2 \ldots p_m = q_1 q_2 \ldots q_n$ حيث $p_i ,q_j$ . سنبين بالاستقراء الرياضي على $\max (m,n)$ أن $m = n$ وأنه تحت تبديلة معينة $\pi$ للمجموعة $\{ 1,2, \ldots ,n\}$ يكون $p_i ,q_{\pi (i)}$ متشاركان. خطوة الأساس $\max (m,n) = 1$ واضحة. خطوة الفرض, افرض صحة النتيجة $\max (m,n) = k$ . خطوة الاستقراء, إذا كان $p_1 p_2 \ldots p_m = q_1 q_2 \ldots q_n$ فإن $p_1 |q_1 q_2 \ldots q_n$ وبالتالي $q_1 q_2 \ldots q_n \in (p_1 )$ ومن أولية $(p_1 )$ فإنه يوجد i بحيث $q_i \in (p_1 )$ إذا $p_1 |q_i$ وحيث أن قاسم العنصر الغير قابل للتحليل إما متشارك معه أو عنصر وحدة فإن $p_1 ,q_i$ متشاركان إذا يمكن أن نكتب $q_i = up_1$ حيث u عنصر وحدة. ثم التعويض في المساواة

$p_1 p_2 \ldots p_m = q_1 q_2 \ldots q_n$

عن $q_i$ واختصار $p_1$ من كلا الطرفين واستخدام خطوة الفرض على

$p_2 \ldots p_m = q_1 q_2 \ldots q_{i - 1} (uq_{i + 1} ) \ldots q_n$

نصل للمطلوب.

مبرهنة3: إذا كانت R منطقة مثالية رئيسية فإنها منطقة تحليل وحيد. على وجه الخصوص, كل حلقة إقليدية هي منطقة تحليل وحيد.

البرهان الأول: أولا الحالة الخاصة ناتجة من كون كل حلقة إقليدية هي منطقة مثالية رئيسية. بما أن كل منطقة مثالية رئيسية هي حلقة نيوثرية وبما أن كل عنصر غير صفري وليس عنصر وحدة من حلقة تامة نيوثرية R يمكن كتابته كحاصل ضرب لعناصر غير قابلة للتحليل فإنه وبموجب المبرهنة أعلاه يكفي إثبات أن $(p)$ أولية لكل عنصر غير قابل للتحليل $p \in R$ . لذلك افرض أن $p \in R$ غير قابل للتحليل. إذا p أولي لأن R منطقة مثالية رئيسية وبالتالي إذا كان $ab \in (p)$ فإن $p|a$ أو $p|b$ ومنه $a \in (p)$ أو $b \in (p)$ والذي يثبت أن $(p)$ أولية.

البرهان الثاني: المبرهنة السابقة تبين تحقق المتطلب (1) في تعريف منطقة التحليل الوحيد. يتبقى إثبات وحدانية التحليل.

ملاحظة: قبل الشروع في المحاورة تذكر أن في منطقة المثالية الرئيسية العنصر p غير قابل للتحليل إذا وإذا فقط p أولي. كما أن قواسم أي عنصر غير قابل للتحليل هي عناصر الوحدة والعناصر المتشاركة معه فقط. انظر العناصر الأولية والعناصر الغير قابلة للتحليل.

افرض أن لديك التفريقين التالين والمكونة من عناصر غير قابلة للتحليل

$p_1 p_2 \ldots p_m = q_1 q_2 \ldots q_n$

حيث $m \leqslant n$ . لاحظ أنه يمكن تجاهل كتابة عناصر الوحدة في التفريق صراحة وذلك لأنه إذا كان p غير قابل للتحليل فكذلك $up$ لكل عنصر وحدة u.

إذا $p_1 |q_1 q_2 \ldots q_n$ . ولكن $p_1$ أولي, إذا يوجد $1 \leqslant i \leqslant n$ بحيث $p_1 |q_i$ وبالتالي $p_1 ,q_i$ متشاركان حسب الملاحظة السابقة. إذا $p_1 = u_1 q_i$ . إذا بدلنا الترقيم بين $q_1 ,q_i$ فإن $p_1 = u_1 q_1$ وبالتالي

$p_1 p_2 \ldots p_m = u_1 q_1 q_2 \ldots q_n$

باستخدام قانون الاختصار في الضرب ينتج لنا

$p_2 \ldots p_m = u_1 q_2 \ldots q_n$

بمعاودة نفس المحاورة على $p_2 , \ldots ,p_m$ نصل في النهاية إلى أن

$1 = u_1 u_2 \ldots u_m q_{m + 1} \ldots q_n$

حيث $u_2 , \ldots ,u_m$ عناصر وحدة. ولكن $q_1 ,q_2 , \ldots ,q_n$ جميعها أولية أي أنها ليست عناصر وحدة إذا $m = n$ .

حقيقة4: إذا كانت R منطقة تحليل وحيد فإن القاسم المشترك الأكبر موجود لأي $a,b \in R$ .

البرهان: افرض أن a,b لهما التحليل

$\begin{gathered} a = up_1^{k_1 } p_2^{k_2 } \ldots p_n^{k_n } \hfill \\ b = vp_1^{l_1 } p_2^{l_2 } \ldots p_n^{l_n } \hfill \\ \end{gathered}$

حيث $k_i ,l_i \geqslant 0$ أعداد صحيحة و $p_1 ,p_2 , \ldots ,p_n$ عناصر غير قابلة للتحليل و $u,v$ عناصر وحدة. في هذه الحالة يكون

$d = p_1^{\min (k_1 ,l_1 )} p_2^{\min (k_2 ,l_2 )} \ldots p_n^{\min (k_n ,l_n )}$

قاسم مشترك وهو قاسم مشترك أكبر لأنه إذا كان $c|a,\;\;c|b$ فإن c يمكن كتابته

$d = p_1^{t_1 } p_2^{t_2 } \ldots p_n^{t_n }$

حيث $t_i \leqslant k_i ,\;\;t_i \leqslant l_i$ لكل $1 \leqslant \;i \leqslant n$ . إذا $t_i \leqslant \min (k_i ,l_i )$ لكل $1 \leqslant \;i \leqslant n$ . إذا $c|d$ .