عناصر الوحدة في الحلقات

Unit Elements(in Rings)

تعريف

نقول عن عنصر a من حلقة R ذات محايد أنه قابل للانعكاس من جهة اليمين right invertible (قابل للانعكاس من جهة اليسار left invertible) إذا وجد $b \in R$ بحيث $ab = 1$ (بحيث $ba = 1$ ) ويسمى b المعكوس الأيمن للعنصر a (المعكوس الأيسر للعنصر a) في R.

نقول عن a أنه قابل للانعكاس invertible أو عنصر وحدة unit element إذا وجد $c \in R$ بحيث $ac = ca = 1$ ويسمى c معكوس a في R (inverse of a) . نشير إلى مجموعة عناصر الوحدة في حلقة R بالرمز $U(R)$ .

واضح أنه إذا كان للعنصر a معكوس $b_1$ من جهة اليمين ومعكوس $b_2$ من جهة اليسار فإن $b_1 = b_2$ , لذلك العنصر a له معكوس إذا وإذا فقط كان له معكوس من جهة اليمين وله معكوس من جهة اليمين.

أمثلة على عناصر الوحدة

1. في الحلقة $\mathbb{Z}$ مجموعة الوحدات هي $U(\mathbb{Z}) = \{ + 1, - 1\}$

2. الحلقة $\mathbb{Q}$ عبارة عن حقل لذلك نجد أن $U(\mathbb{Q}) = \mathbb{Q}^*$ أي أن كل عنصر غير الصفر هو عنصر وحدة.

حقيقة1: إذا كان $a^{ - 1}$ معكوس a في حلقة R فإنه وحيد.

البرهان: إذا كان $a_1 ,a_2$ معكوسين للعنصر a فإن $aa_1 = aa_2 = 1_R$ . بالضرب في $a^{ - 1}$ نستنتج أن $a_1 = a_2$ .

حقيقة2: إذا كانت R حلقة ذات محايد $1$ فإن مجموعة عناصر الوحدة $U(R)$ تشكل زمرة بالنسبة لعملية الضرب.

البرهان: المجموعة $U(R)$ غير خالية فهي تحوي محايد R. ليكن $a,b \in U(R)$ عندئذ يوجد $a^{ - 1} ,b^{ - 1} \in R$ بحيث

$\begin{array}{l} aa^{ - 1} = a^{ - 1} a = 1 \\ bb^{ - 1} = b^{ - 1} b = 1 \\ \end{array}$

وبالتالي

$(ab)(b^{ - 1} a^{ - 1} ) = a(bb^{ - 1} )a^{ - 1} = a1a^{ - 1} = 1$

وبالمثل $(b^{ - 1} a^{ - 1} )(ab) = 1$ وعليه فإن $ab \in U(R)$ . عملية التجميع متحققة وراثيا من R. أيضا محايد R يمثل محايد في $U(R)$ كما أن $aa^{ - 1} = a^{ - 1} a = 1$ لكل $a \in U(R)$ .