فضاء المتجهات

Vector Space

مقدمة :

تعرف المتجهات الهندسية (أو الأشعة الهندسية) أنها أشياء رياضية لها مقدار واتجاه ،

إن المتجهات تتمتع بخواص مفيدة ، ويمكن تعريف الضرب النقطي عليها dot product وإيجاد مقدارها باستخدام المعيار norm ، وغيرها من الخواص التي شجعت العديد من الرياضيين على استخلاص الخواص الرئيسة منها وصياغتها في تعريف تجريدي .

وفائدة هذا التجريد تكمن في أنه ناظر إلى الخواص الأساسية للمتجهات دون تأثر بحيثياتها الفيزيائية الخاصة مما قد يساعد على برهنة المزيد من الخواص. الفائدة الأخرى تكمن في أنه عند تطوير نظرية كاملة لكيان مجرد فإنه يمكن تطبيقه مباشرة على أشياء رياضية مختلفة ، كما سنرى لاحقاً .

هذا الكيان المجرد يسمى بفضاء المتجهات أو الفضاء الشعاعي ، حيث يحوي مجموعة المتجهات بحيث يتم تعريف عملية الجمع عليها بحيث تشكل زمرة أبيلية. ويتم كذلك تعريف حقل الأعداد scalers ويتم تعريف الضرب العددي بين الأعداد والمتجهات .

أي أن فضاء المتجهات يتكون من مجموعتين وعمليتين : مجموعة المتجهات وحقل الأعداد ، وجمع المتجهات والضرب العددي .

التعريف :

لتكن لدينا المجموعة V والحقل K ( عادة $K=\mathbb R \ or \ \mathbb C$ ) . إذا عرفنا عملية الجمع بين متجهين وعملية الضرب العددي بحيث توافق المسلمات العشرة التالية فإن V يسمى فضاء متجهات :

لأي $u,w,v \in V , c,d \in K$ فإن :

(1) خاصية الإغلاق تحت الجمع : أي أن $u + v \in V$

(2) الخاصية التبديلية : u+v=v+u

(3)الخاصية التجميعية : (u+v)+w = u+(v+w)

(4) العنصر المحايد الجمعي : يوجد عنصر في V نسميه بالمتجه الصفري بحيث u+0=u

(5) النظير الجمعي : يوجد عنصر في V نسميه بالنظير الجمعي ويرمز له $- v$ بحيث v+(-v)=0

(6) خاصية الإغلاق تحت الضرب العددي : $cu \in V$

(7) خاصية توزيع الضرب العددي على جمع المتجهات : $c(u + v) = cu + cv$

(8) خاصية توزيع الضرب العددي على جمع الأعداد : $(c + d)u = cu + du$

(9) الخاصية التجميعية للضرب العددي : $c(du) = (cd)u$

(10) خاصية العدد المحايد : $1(u) = u$

ينبغي التفريق بين جمع المتجهات ، وجمع الأعداد حسب التعريف المتبع في حقل الأعداد .

ويمكن ملاحظة أن الخواص الخمسة الأولى يمكن اختزالها بقولنا أن $(V, + )$ زمرة أبيلية .

أمثلة :

(1) مجموعة كل الـ n زوجاً مرتباً من الأعداد الحقيقية ، مع عملية الضرب والجمع الاعتيادتين ، أي أن : $V = \mathbb R ^n ,K = \mathbb R$

(2) مجموعة المصفوفات من الحجم $m \times n$ مع العمليات الاعتيادية . أي أن : $V = M_{m \times n} (\mathbb R),K = \mathbb R$

(3) مجموعة الحدوديات أو كثيرات الحدود polynomials ذات الدرجة أقل من أو تساوي n ، أي أن : $V = {\cal P}_n,K = \mathbb R$

(4) مجموعة الدوال المتصلة على $\mathbb R$ مع عملية جمع وضرب الدوال الاعتيادية، أي أن : $V = C( - \infty ,\infty ),K = \mathbb R$

كما يلاحظ من الأمثلة تباين الأشياء الرياضية التي توافق مسلمات فضاء المتجهات .

الفضاء الجزئي Subspace

نقول أن مجموعة $W \subset V$ تمثل فضاء جزئياً من V إذا كانت فضاء متجهات تحت العمليات المعرفة على V .

لاختبار كون الفضاء فضاء متجهات فإننا نحتاج إلى اختبار 10 خصائص ، ولكن في حالة الفضاء الجزئي فإننا نحتاج إلى اختبار خاصيتين فقط وهما خاصيتا الإغلاق ، وبقية الخواص تورث تلقائياً من الفضاء الأصلي

مبرهنة : إذا كانت W مجموعة جزئية غير خالية من V فإنها تكون تكون فضاءاً جزئياً من V إذا فقط إذا:

(1) لكل $u,v \in W$ فإن $u + v \in W$

(2) لكل $u \in W,c \in K$ فإن $cu \in W$

لاحظ أنها لكل فضاء متجهي V فإن V و $\{ 0\}$ يمثلان فضاءين جزئيين ويسميان بالفضاءين البدهيين trivial subspaces ، وأي فضاء جزئي آخر W يحقق : $\{ 0\} \subset W \subset V$ ، أي أن كل فضاء يجب أن يحوي نفس صفر الفضاء الأصلي .

مبرهنة: إذا كان U و W فضاءين جزئيين من V ، فإن $U \cap W$ يمثل فضاءاً جزئياً من W أيضاً

لاحظ أن هذا لا يصح بالنسبة لـ $U \cup W$

المرجع :

Larson, Edwards and Falvo, Elementary Linear Algebra , 5th ed.

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

فضاء المتجهات

مقدمة :

التعريف :

أمثلة :

الفضاء الجزئي Subspace

المرجع :

التعليقات

بارك الله في جهودكم

شكككككككككككككككككككككككككككك

تنقص بعض المعلومات

ارجو التفصيل بشكل اكبر

ما فهمت ولا حرف

ما فهمت ولا حرف

علِّق

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة