صيغة فييت أو فايتا

Viète Formula

فييت François Viète أو فايتا Franciscus Vieta رياضي فرنسي عاش في الفترة (1540-1603م) . صيغة فييت عبارة عن تعبير عن النسبة ط كحاصل ضرب لانهائي.

\frac{2}{\pi } = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cdot\frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2}\cdot\frac{{\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt 2 } } }}{2} \cdots

 

أحد طرق إثبات هذه الصيغة يتم باستخدام الصيغة التالية العائدة لأويلر

\frac{{\sin x}}{x} = \cos \left( {\frac{x}{2}} \right)\cos \left( {\frac{x}{4}} \right)\cos \left( {\frac{x}{8}} \right) \cdots

 

ضع x = \pi /2 ثم اوجد جيب كل زاوية من الزوايا \frac{x}{4},\frac{x}{8},\frac{x}{{16}}, \cdots باستخدام الزاوية التي قبلها وواستخدام قانون ضعف الزاوية

\cos \frac{\theta }{2} = \sqrt {\frac{{1 + \cos \theta }}{2}}

إذا

\cos \frac{x}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2},\cos \frac{x}{4} = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2},\cos \frac{x}{8} = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt 2 } } }}{2}


بالاستقراء الرياضي نثبت بكل سهولة أن

\cos \frac{x}{{2^n }} = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt {2 + \cdots + \sqrt 2 } } }}{2}

حيث يتكرر ظهور العدد 2 في البسط n مرة وبهذا تثبت الصيغة المطلوبة.

 

صيغة فييت يمكن التعبير عنها أيضا كحاصل ضرب لانهائي

\frac{2}{\pi } = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \prod\limits_{k = 1}^n {\frac{{a_k }}{2}}

 

حيث (a_n ) معرفة تكراريا كما يلي: a_1 = \sqrt 2 ,\;a_n = \sqrt {2 + a_{n - 1} } .

المسمى "صيغة فييت" يطلق أيضا على تلك العلاقات التي تربط بين معاملات حدودية

P(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0

 

من الدرجة n \ge 1 والتي معاملاتها أعداد مركبة وبين جذورها r_1 ,r_2 , \cdots ,r_n وهي

\sum\limits_{1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n} {r_{i_1 } } r_{i_2 } \cdots r_{i_k } = ( - 1)^k \frac{{a_{n - k} }}{{a_n }}

هذه العلاقة عبارة عن جملة علاقات في آن واحد, عند كل 1 \le k \le n ينتج علاقة من هذه العلاقات. مثلا إذا وضعنا k=1 فإن

\;r_1 + r_2 + \ldots + r_n = \frac{{ - a_{n - 1} }}{{a_n }}

 

إذا وضعنا k=2 فإن

\;\sum\limits_{1 \le i < j \le n}^{} {r_i r_j } = \frac{{a_{n - 2} }}{{a_n }}

 

وإذا كانت k=n نحصل على العلاقة

\;r_1 r_2 \ldots r_n = ( - 1)^n \frac{{a_0 }}{{a_n }}

 

مثال 1: في حالة حدودية من الدرجة الثانية

P(x) = ax^2 + bx + c = a(x - r_1 )(x - r_2 )

لدينا

\;r_1 + r_2 = \frac{{ - b}}{a},\quad r_1 r_2 = \frac{c}{a}

في حالة حدودية من الدرجة الثالثة

P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d = a(x - r_1 )(x - r_2 )(x - r_3 )

سيكون

\;r_1 + r_2 + r_3 = \frac{{ - b}}{a},\quad r_1 r_2 + r_2 r_3 + r_3 r_1 = \frac{c}{a},\quad r_1 r_2 r_3 = \frac{{ - d}}{a}

إثبات هذه الحالات الخاصة أو صيغة فييت بشكل عام ينتج مباشرة من كتابة الحدودية على الشكل

a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0 = a_n (x - r_1 )(x - r_2 ) \cdots (x - r_n )

ثم انجاز الضرب ومقارنة المعاملات بين الطرفين.