منتدى الرياضيات رمز

بواسطة **إباء** » الخميس مارس 06, 2008 7:08 pm

علي كتب:
(8 )

إذا كانت f دالة قابلة للاشتقاق بحيث أن قيمة كل من $\lim _ { x \to \infty } f(x)$ و $\lim _ { x \to \infty } f'(x)$ موجودة ومنتهية ، أي من الخيارات التالية يجب أن يكون صحيحاً ؟

$\boxed { (\mathbf A)}$ $\lim _ { x \to \infty } f'(x) = 0$
(B) $\lim _ { x \to \infty } f''(x) =0$
(C) $\lim _ { x \to \infty } f(x)$ = $\lim _ { x \to \infty } f'(x)$
(D) دالة ثابتة
(E) دالة ثابتة

سنضع $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = c$

* إذا كان $c \ne 0$ فإن

$\begin{gathered} c = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( x \right)e^x }} {{e^x }} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f'\left( x \right)e^x + f\left( x \right)e^x }} {{e^x }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {f'\left( x \right) + f\left( x \right)} \right) \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( x \right) + c \hfill \\ \Rightarrow \therefore \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( x \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered}$

* إذا كان c = 0

نفرض لغرض التناقض أن $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( x \right) = k \ne 0$

فنحصل على

$\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( x \right)}} {{e^{ - x} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f'\left( x \right)}} {{ - e^{ - x} }} \hfill \\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( x \right) + f'\left( x \right)}} {{e^{ - x} }} = 0 \hfill \\ \end{gathered}$

وهذا يناقض أن

$\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( x \right) + f'\left( x \right)}} {{e^{ - x} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {\left( {f\left( x \right) + f'\left( x \right)} \right).e^x } \right] \hfill \\ = k\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } e^x = \infty \hfill \\ \end{gathered}$

$\therefore \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( x \right) = 0$

أي أن الخيار A صحيح.

..................................

الخيار B خاطئ لأن $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f''\left( x \right)$ قد لا تكون موجودة.

مثلا

$\begin{gathered} f\left( x \right) = \int\limits_0^x {\frac{{\sin \left( {t^2 } \right)}} {t}} dt \hfill \\ f'\left( x \right) = \frac{{\sin \left( {x^2 } \right)}} {x} \hfill \\ f''\left( x \right) = 2\cos \left( {x^2 } \right) - \frac{{\sin \left( {x^2 } \right)}} {{x^2 }} \hfill \\ \end{gathered}$

$\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = \frac{\pi } {4} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( x \right) = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f''\left( x \right){\text{ does not exist}} \hfill \\ \end{gathered}$

..........................................

الخيارات C,D and E خاطئة , مثلا لدينا

$\begin{gathered} g\left( x \right) = \tan ^{ - 1} (x) \hfill \\ g'\left( x \right) = \frac{1} {{1 + x^2 }} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } g\left( x \right) = \frac{\pi } {2} \ne 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } g'\left( x \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered}$

بواسطة **إباء** » الجمعة مارس 07, 2008 2:03 am

علي كتب:
(7)

أي من الخيارات التالية لا يمكن أن يكون جذراً لـ حيث a و b عددان صحيحان ؟

(A)
(B)
$\boxed { (\mathbf C)}$ $\frac 14$
(D) $\frac 13$
(E)

نفرض لغرض التناقض وجود $a,b \in \mathbb{Z}$ بحيث أن $\frac{1} {4}$ جذر لـ 9x^5 + ax^3 + b

أي أن

$\begin{gathered} 9\left( {\frac{1} {4}} \right)^5 + a\left( {\frac{1} {4}} \right)^3 + b = 0 \hfill \\ \Rightarrow 9 + 16a + 4^5 b = 0 \hfill \\ \Rightarrow 4^5 b = - \left( {9 + 16a} \right) \hfill \\ \Rightarrow 4\left| {9 + 16a} \right. \hfill \\ \mathop \Rightarrow \limits^{4\left| {16a} \right.} 4\left| 9 \right. \hfill \\ \end{gathered}$

لذا $\frac{1} {4}$ لا يمكن أن يكون جذرا لـ 9x^5 + ax^3 + b

و $a,b \in \mathbb{Z}$ .

فالخيار C صحيح.

.........................................................................

لإثبات أن الخيارات الأخرى خاطئة ...

بوضع

$\begin{gathered} a = - 9^3 = - 729 \hfill \\ b = 0 \hfill \\ \end{gathered}$

نجد أن - 9,9

جذران لـ

أي أن الخياران A و E خاطئان.

.........................................

نضع

$\begin{gathered} a = - 9.5^2 = - 225 \hfill \\ b = 0 \hfill \\ \end{gathered}$

نجد أن

جذر لـ

أي أن الخيار B خاطئ.

.........................................

بوضع

$\begin{gathered} a = - 1 \hfill \\ b = 0 \hfill \\ \end{gathered}$

نجد أن $\frac{1} {3}$ جذر لـ 9x^5 - x^3 + 0

أي أن الخيار D خاطئ.

بواسطة **إباء** » الجمعة مارس 07, 2008 2:08 am

علي كتب:
(6) إذا كان و فضائين متجهين جزءيين بعد كل منها من فضاء V بعده ، ما أصغر بعد ممكن لـ $V_1 \cap V_2$ ؟

(A)
(B)
$\boxed { (\mathbf C)}$
(D)
(E)

لدينا

$\dim \left( {V_1 + V_2 } \right) = \dim \left( {V_1 } \right) + \dim \left( {V_2 } \right) - \dim \left( {V_1 \cap V_2 } \right)$

أي أن أصغر بعد ممكن لـ $V_1 \cap V_2$ يقابل أكبر بعد ممكن لـ

ولكن

فضاء متجه جزئي من

؛ أي أن أكبر بعد له $\dim V = 10$

وبالتالي

$\begin{gathered} \dim \left( {V_1 \cap V_2 } \right) = \dim \left( {V_1 } \right) + \dim \left( {V_2 } \right) - \dim \left( {V_1 + V_2 } \right) \hfill \\ = 6 + 6 - 10 = 2 \hfill \\ \end{gathered}$

بواسطة **إباء** » الجمعة مارس 07, 2008 11:41 pm

علي كتب:
(5) في المستوى الاقليدي ، النقطة A تقع على دائرة مركزها O ، و O تقع على دائرة مركزها A . إذا تقاطعت الدائرتان عند النقاط B و C ، فما قياس BAC ؟

(A) $60 ^ \circ$
(B) $90 ^ \circ$
$\boxed { (\mathbf C)}$ $120 ^ \circ$
(D) $135 ^ \circ$
(E) $150 ^ \circ$

نلاحظ أن الدائرتين متطابقتين

وأن المثلث OBA

متطابق الأضلاع ؛ طول ضلعه يساوي طول نصف قطر الدائرة.

بالتالي $\angle BAO = 60^ \circ$

بالمثل المثلث OAC

أي $\angle OAC = 60^ \circ$

لذلك

$\angle BAC = \angle BAO + \angle OAC = 60^ \circ + 60^ \circ = 120^ \circ$

.......................

بطريقة أخرى
:
:

نص مخفي:

بواسطة **إباء** » السبت مارس 08, 2008 12:04 am

علي كتب:
(4) لتكن معرفة على $\mathbb R$ ، بحيث $\lim _{x \to 0} \frac {f(x) } x$ تساوي عدداً حقيقياً L وكذلك فإن ، فأي واحدة من العبارات التالية يجب أن تكون صحيحة :

I. تكون f قابلة للاشتقاق عند الصفر
II. يكون
III. $\lim _ {x \to 0} { f(x) } =0$

الخيارات :

(A) ولا واحدة
(B) فقط I
(C) فقط III
$\boxed { (\mathbf D)}$ فقط I و III
(E) كل الخواص I و II و III

(I) صحيحة لأن

$f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}} {{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right)}} {x} = L$

..............................................

(II) خاطئة نعطي مثال لذلك $f\left( x \right) = x$ تحقق الشروط ومع ذلك

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right)}} {x} = 1 \ne 0$

..............................................

(III) صحيحة

من (I)

قابلة للإشتقاق عند الصفر فهي متصلة عند الصفر أي

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 0$

لذا فالخيار

هو الصحيح.

بواسطة **إباء** » الأربعاء مارس 12, 2008 1:33 pm

علي كتب:
(3) إذا كانت g دالة معرفة على مجموعة الأعداد الحقيقية بـ :

$g(x) = \left \{ \begin {array} {lcl} 1 & : & x \in \mathbb Q \\ e^x & : & x \in \bar { \mathbb Q} \end {array} \right .$

فإن g متصلة على :
(A) $\phi$
$\boxed { (\mathbf B)}$ $\{ 0 \}$
(C) $\{ 1 \}$
(D) $\mathbb Q$
(E) $\bar {\mathbb Q}$

http://www.mathramz.com/xyz/viewtopic.p ... a&start=20

بواسطة **إباء** » الخميس مارس 13, 2008 8:13 pm

علي كتب:
(2) إذا كانت دالة معرفة على الفترة المفتوحة بحيث أنها تحقق :
$a < g(x) < x \ \forall x \in (a,b)$

فإن :
(A) دالة غير محدودة
$\boxed { (\mathbf B)}$ دالة غير ثابتة
(C) دالة غير سالبة
(D) دالة متزايدة قطعياً
(E) حدودية (كثيرة حدود) من الدرجة 1

سنثبت أولا بمثال معاكس أن الخيارات A,C,D and E خاطئة ـ نلاحظ هنا أنه لا يوجد شرط على اتصال الدالةـ

$g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\left( {x + 1} \right)^2 - 1\quad ,{\text{if}}\quad - 1{\text{ }} < {\text{ }}x < - \frac{1} {2}} \\ { - \frac{1} {2}\quad ,{\text{if}}\quad - \frac{1} {2}{\text{ }} \leqslant {\text{ }}x < 0} \\ \end{array} } \right.$

عندما $x \in \left( { - 1, - \frac{1}{2}} \right)$ فإن

$0 < {\rm{ }}x + 1 < \frac{1}{2} < 1 \Rightarrow 0 < {\rm{ }}\left( {x + 1} \right)^2 < x + 1$

$\Rightarrow - 1 < {\text{ }}\left( {x + 1} \right)^2 - 1 < x \Rightarrow - 1 < g\left( x \right) < x$

ـ لأن $0 < w < 1 \Rightarrow 0 < w^2 < w$ ـ

كذلك

$x \in \left( { - \frac{1}{2},0} \right) \Rightarrow g\left( x \right) = - \frac{1}{2}$

$\begin{gathered} - 1 < - \frac{1} {2} < {\text{ }}x < 0 \hfill \\ \therefore - 1 < g\left( x \right) < x \hfill \\ \end{gathered}$

.................................................................

لإثبات صحة B سنفرض لغرض التناقض أن

ثابتة

أي يوجد

بحيث $g\left( x \right) = c$

لدينا

$\frac{{a + b}} {2} \in \left( {a,b} \right)$

$a < g\left( {\frac{{a + b}} {2}} \right) < \frac{{a + b}} {2} \Rightarrow a < c < \frac{{a + b}} {2} < b$

أي $c \in \left( {a,b} \right)$

وبالتالي

$a < g\left( c \right) < c \Rightarrow c < c$ وهذا تناقض.

يمكن إيجاد التناقض بطريقة أخرى

$\forall 0 < \varepsilon < b - a,a < g\left( {a + \varepsilon } \right) < a + \varepsilon$

$\Rightarrow a < c < a + \varepsilon \Rightarrow a < c \leqslant a$

بواسطة **إباء** » الخميس مارس 13, 2008 8:42 pm

بقي السؤال الأول يترك كتمرين
:
:
:
:
بمناسبة مرور أربعة أشهر على المسابقة.

:
:fly:

علي كتب:
انتهت الأسئلة .

جميع الأسئلة مأخوذة من مصدر معين يتم ذكره بعد نهاية المسابقة

بواسطة **ster.ali** » الأحد مايو 25, 2008 5:43 pm

Muhanad كتب:
المحترف كتب:
وفقك المولى استاذ على على هذه الأسئلة الجميلة

بعضها فعلا ينحل في دقائق قليلة

في سؤال رقم 12: ?

abhat 3an mostawa arriyadyat min al mostawa almotwassit ya3ni al i3dadi min fadlikom wa bisor3a.

بواسطة **علي** » الأحد مايو 25, 2008 7:56 pm

الأخ المحترم ،

يمكنك طرح أسئلتك في منتدى المرحلة المتوسطة .. :
viewforum.php?f=11

وأرجو منك اختيار المكان المناسب لطرح ردودك مستقبلاً !

كما لا يفوتني أن أشيد بجهود الأخت سبأ الجبارة في تحرير الحلول لأسئلة المسابقة ، وعذراً على التاخير .

منتدى الرياضيات رمز

مسابقة : أســئــلة ســريــعة ( + الحلول)

مشاركة تجريبية

السلام عليكم

السلام عليكم

السلام عليكم

السلام عليكم

السلام عليكم

السلام عليكم

السلام عليكم

Re:

Re: مسابقة : أســئــلة ســريــعة ( + الحلول)

الموجودون الآن