منتدى الرياضيات رمز

السلام علكيم ورحمة الله وبركاته
إذا كان
$\begin{array}{l} 256\sin ^8 \left( {20} \right) - 576\sin ^6 \left( {20} \right) + 432\sin ^4 \left( {20} \right) - 120\sin ^2 \left( {20} \right) + 9 = 0 \\ z = \sin ^2 \left( {20} \right) \\ \end{array}$
فحل معادلة التالية
256z^4 - 576z^3 + 432z^2 - 120z + 9 = 0

بواسطة **smartboy** » الأحد يناير 22, 2012 12:36 am

اخى الفاضل لا ارى مجاهيل فى المعادلة فـقـيمة z=sin^(20)l

ربما لم تفهم الفكرة ولكن هذا مثال سيفهمك بإذن الله
إثبت إن
$\sin \left( {36} \right) = \frac{{\sqrt {2\left( {5 - \sqrt 5 } \right)} }}{4}$
الحل
$\begin{array}{l} 16\sin ^4 \left( {36} \right) - 20\sin ^2 \left( {36} \right) + 5 = 0 \\ z = \sin ^2 \left( {36} \right) \\ 16z^2 - 20z + 5 = 0 \\ z = \frac{{20 \pm \sqrt {400 - 320} }}{{32}} = \frac{{20 \pm \sqrt {80} }}{{32}} = \frac{{20 \pm 4\sqrt 5 }}{{32}} = \frac{{5 \pm \sqrt 5 }}{8} \\ \sin \left( {36} \right) = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{{5 \pm \sqrt 5 }}{2}} = \frac{{\sqrt {2\left( {5 \pm \sqrt 5 } \right)} }}{4} \\ \end{array}$

بواسطة **sabaga** » الأحد يناير 22, 2012 9:20 am

ان كان المجهول

عدد مركب فحلول المعادلة الاربع تحقق الجملة

$\begin{array}{l} a_0 z^4 + a_1 z^3 + a_2 z^2 + a_3 z + a_4 = 0 \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} z_1 + z_2 + z_3 + z_4 = - \frac{{a_1 }}{{a_0 }} \\ z_1 \times z_2 \times z_3 \times z_4 = \left( { - 1} \right)^4 \frac{{a_4 }}{{a_0 }} \\ \end{array} \right. \\ \end{array}$

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {\rm z}_{\rm 1} + z_2 + z_3 + z_4 = \frac{{576}}{{256}} \\ {\rm z}_{\rm 1} \times z_2 \times z_3 \times z_4 = \frac{9}{{256}} \\ \end{array} \right. \\ \Rightarrow {\rm z}_{\rm 1} + z_2 + z_3 + z_4 = 64{\rm z}_{\rm 1} z_2 z_3 z_4 \\ \end{array}$

أتقصد لا يوجد حل لهذا معادلة سوى إعداد تخليلي!

بواسطة **smartboy** » الاثنين يناير 23, 2012 1:28 am

اخى الفاضل توصلت ان لهذه المعادلة اربعة جذور حقيقية قيمها التقريبية هى 0.75,0.116978,0.413176,0.969846 ولكن القيمة الوحيدة التى تساوى تقريبا sin^2(20)l هى 0.116978

لو زدنا عليك في طلب لو سمحت إكتب حل

بواسطة **smartboy** » الاثنين يناير 23, 2012 7:37 pm

حضرتك الحل باستخدام طريقة فيرارى لحل معادلات الدرجة الرابعة...

هذه أول مرة أحل معادلة من درجة الرابعة هل يوجد خطأ
في مشاركة ثانية تكملت حل بدون إرقام
في مشاركة ثالث حل بإرقام في إي خطأ في مشاركة ثانية أو ثالثة فإخبروني إين هي في هذا اليوم لإن غدا سإبدا بإذن الله بأكتب إرقام
وشكرا
$\begin{array}{l} 256z^4 - 576z^3 + 432z^2 - 120z + 9 = 0 \\ z^4 - \frac{9}{4}z^3 + \frac{{27}}{{16}}z^2 - \frac{{15}}{{32}}z + \frac{9}{{256}} = 0 \\ z = x + \frac{9}{{16}} \\ \left( {x + \frac{9}{{16}}} \right)^4 - \frac{9}{4}\left( {x + \frac{9}{{16}}} \right)^3 + \frac{{27}}{{16}}\left( {x + \frac{9}{{16}}} \right)^2 - \frac{{15}}{{32}}\left( {x + \frac{9}{{16}}} \right) + \frac{9}{{256}} = 0 \\ x^4 + \frac{{9x^3 }}{4} + \frac{{486}}{{256}}x^2 + \frac{{729}}{{1024}}x + \frac{{6561}}{{65536}} - \frac{9}{4}\left( {x^3 + \frac{{27x^2 }}{{16}} + \frac{{243x}}{{256}} + \frac{{729}}{{4096}}} \right) + \frac{{27}}{{16}}\left( {x^2 + \frac{9}{8}x + \frac{{81}}{{64}}} \right) \\ - \frac{{15}}{{32}}\left( {x + \frac{9}{{16}}} \right) + \frac{9}{{256}} = 0 \\ x^4 + x^2 \left( {\frac{{486}}{{256}} - \frac{{729}}{{64}} + \frac{{27}}{{16}}} \right) + x\left( {\frac{{729}}{{1024}} - \frac{{2187}}{{1024}} + \frac{{243}}{{128}} - \frac{{15}}{{32}}} \right) + \frac{{6561}}{{65536}} - \frac{{6561}}{{16384}} + \frac{{2187}}{{1024}} - \frac{{135}}{{512}} + \frac{9}{{256}} \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} x^4 + x^2 \left( {\frac{{ - 1998}}{{256}}} \right) + x\left( {\frac{6}{{1024}}} \right) + \frac{{105309}}{{65536}} = 0 \\ x^4 - \frac{{999}}{{128}}x^2 + \frac{3}{{512}}x + \frac{{105309}}{{65536}} = 0 \\ x^4 + 2tx^2 + t^2 - t^2 - 2tx^2 - \frac{{999}}{{128}}x^2 + \frac{3}{{512}}x + \frac{{105309}}{{65536}} = 0 \\ \left( {x^2 + t} \right)^2 - \left( {t^2 + x^2 \left( {\frac{{999}}{{128}} + 2t} \right) - \frac{3}{{512}}x - \frac{{105309}}{{65536}}} \right) = 0 \\ \left( {px + q} \right)^2 = p^2 x^2 + 2pqx + q^2 \\ p^2 = \frac{{999}}{{128}} + 2t \Rightarrow p = \sqrt {\frac{{999}}{{128}} + 2t} \\ q = \sqrt {t^2 - \frac{{105309}}{{65536}}} \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} \\ - \frac{3}{{512}} = 2\sqrt {\left( {\frac{{999}}{{128}} + 2t} \right)\left( {t^2 - \frac{{105309}}{{65536}}} \right)} \\ - \frac{3}{{512}} = 2\sqrt {t^3 - \frac{{105309}}{{65536}}t + \frac{{999}}{{256}}t^2 - \frac{{{\rm 105203691}}}{{{\rm 16777216}}}} \\ t^3 + \frac{{999}}{{256}}t^2 - \frac{{105309}}{{65536}}t + \frac{9}{{{\rm 1048576}}} - \frac{{1052030691}}{{16777216}} = 0 \\ t^3 + \frac{{999}}{{256}}t^2 - \frac{{105309}}{{65536}}t - \frac{{{\rm 1052030547}}}{{16777216}} = 0 \\ t = s - \frac{{333}}{{256}} \\ s^3 - 3 \times \left( {\frac{{333}}{{256}}} \right)s^2 + 3 \times \left( {\frac{{333}}{{256}}} \right)^2 s - \left( {\frac{{333}}{{256}}} \right)^3 + \frac{{999}}{{256}}\left( {s^2 - \frac{{333}}{{128}}s + \frac{{333^2 }}{{128^2 }}} \right) - \frac{{105309}}{{65536}}\left( {s - \frac{{333}}{{256}}} \right) \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} \\ - \frac{{1052030547}}{{16777216}} = 0 \\ s^3 - s\left( {\frac{{3 \times 333^2 }}{{256^2 }} + \frac{{999 \times 333}}{{256 \times 128}} + \frac{{105309}}{{256^2 }}} \right) - \left( {\frac{{333^3 }}{{256^3 }}} \right) + \frac{{105309 \times 333}}{{65536 \times 256}} - \frac{{1052030547}}{{16777216}} + \frac{{999 \times 333^2 }}{{256 \times 128^2 }} = 0 \\ s^3 - s\left( {\frac{{{\rm 771642}}}{{65536}}} \right) - \frac{{{\rm 610776243}}}{{{\rm 16777216}}} \\ \end{array}$