منتدى الرياضيات رمز

بواسطة **smartboy** » الاثنين مارس 26, 2012 1:06 am

اثبت ان المعادلة : ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 800000007$ ليس لها حلول صحيحة.

سوف اقوم بتعميم المعادلة كما يلي :

$\begin{gathered} x^2 + y^2 + z^2 = 8t + 7 \hfill \\ \hfill \\ 1)x = 2a,y = 2b,z = 2c \Rightarrow x^2 + y^2 + z^2 = 2k \ne 8t + 7 \hfill \\ \hfill \\ 2)x = 2a,y = 2b,z = 2c + 1 \Rightarrow x^2 + y^2 + z^2 = 8n + 1 + 4a^2 + 4b^2 = 8t + 7 \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow \underbrace {4(n - t) + 2a^2 + 2b^2 }_{even} = \underbrace 3_{odd} \hfill \\ \hfill \\ 3)x = 2a + 1,y = 2b + 1,z = 2c + 1 \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow x^2 + y^2 + z^2 = 8n + 1 + 8m + 1 + 8l + 1 = 8t + 7 \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow \underbrace {2n + 2m + 2l - 2t}_{even} = \underbrace 1_{odd} \hfill \\ \hfill \\ \therefore x,y,z \notin \mathbb{Z} \hfill \\ \end{gathered}$

وهذه حالة خاصة
. x^2 + y^2 + z^2 = 800000007

.

بواسطة **smartboy** » الاثنين مارس 26, 2012 4:32 pm

الاستاذ صديق الرياضيات:سوف احاول قول مافهمته من حل حضرتك واتمنى ان يكون صحيحا :
حضرتك درست ثلاث حالات:
اولا: اذا كان الثلاثة اعداد زوجية.
ثانيا:عددان زوجيان وواحد فردى
ثالثا:الثلاثة اعداد فردية
ثم درست حضرتك كل حالة منفردة ....فكان الناتج دائما ان الطرف الايمن عدد فردى بينما الطرف الايسر عدد زوجى ...وبالتالى فلا يوجد حلول صحيحة.
ولكن اذا كان ما فهمته صحيحا ....فلماذا لم تدرس حضرتك الحالة اذا كان : عددان فرديان والثالث زوجى.

وهذه محاولتى:

$\begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + {z^2} = 800000007\\ 800000007 = {8.10^8} + 7\\ 8 \equiv 0\left( {\bmod 8} \right) \Rightarrow {8.10^8} \equiv 0\left( {\bmod 8} \right)\\ \Rightarrow {8.10^8} + 7 \equiv 7\left( {\bmod 8} \right)...................................(1)\\ every.number.x,y,z.can.be.written.on.the.form:\\ x,y,z = 8k,8k \pm 1,8k \pm 2,8k \pm 3,8k + 4\\ \Rightarrow x,y,z \equiv 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3,4\left( {\bmod 8} \right)\\ \Rightarrow {x^2},{y^2},{z^2} \equiv 0,1,4\left( {\bmod 8} \right)\\ \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \equiv 0,1,2,3,4,5,6\left( {\bmod 8} \right)..........(2)\\ from:(1),(2):\\ there.are.no.inTger.solutions. \end{array}$
نظرا لاختلاف بواقى الطرفين.

smartboy كتب:الاستاذ صديق الرياضيات:سوف احاول قول مافهمته من حل حضرتك واتمنى ان يكون صحيحا :
حضرتك درست ثلاث حالات:
اولا: اذا كان الثلاثة اعداد زوجية.
ثانيا:عددان زوجيان وواحد فردى
ثالثا:الثلاثة اعداد فردية
ثم درست حضرتك كل حالة منفردة ....فكان الناتج دائما ان الطرف الايمن عدد فردى بينما الطرف الايسر عدد زوجى ...وبالتالى فلا يوجد حلول صحيحة.
ولكن اذا كان ما فهمته صحيحا ....فلماذا لم تدرس حضرتك الحالة اذا كان : عددان فرديان والثالث زوجى.

بالضبط هذا ما قصدته وبخصوص حالة عددان فرديان والثالث زوجى قد غفلت عنها وهي واضحة حيث الفرديان زوجي ومن ثم زوجي + زوجي يكون زوجي هذا الطرف الايس واما الايمن فردي شكرا

والان السؤال الذي يطرح نفسه ياترى ما هي الاعداد الصحيحة التي يمكن تكتب على شكل جمع ثلاثة مربعات ؟

أوجد الحلول الصحيحة للمعادلات التالية إن وجدت :

$\begin{gathered} 1)x^3 + y^3 + z^3 = 60 \hfill \\ \hfill \\ 2)x^3 + y^3 + z^3 = 23552 \hfill \\ \hfill \\ 3)x^3 + y^3 + z^3 = 507904 \hfill \\ \hfill \\ 4)x^3 + y^3 + z^3 = 4653056 \hfill \\ \hfill \\ 5)x^3 + y^3 + z^3 = 22806528 \hfill \\ \hfill \\ 6)x^3 + y^3 + z^3 = 33285996544 \hfill \\ \hfill \\ 7)x^3 + y^3 + z^3 = 122870424403968 \hfill \\ \hfill \\ 8)x^3 + y^3 + z^3 = 131931113615170713157632 \hfill \\ \hfill \\ 9)x^3 + y^3 + z^3 = 580239173941266987488282964790345728 \hfill \\ \hfill \\ 10)x^3 + y^3 + z^3 = 608424872054637972672513798088001562083328 \hfill \\ \end{gathered}$

منتدى الرياضيات رمز

ليس لها حلول صحيحة

ليس لها حلول صحيحة

Re: ليس لها حلول صحيحة

Re: ليس لها حلول صحيحة

Re: ليس لها حلول صحيحة

Re: ليس لها حلول صحيحة

الموجودون الآن