منتدى الرياضيات رمز

ا لسلام عليكم ورحمة الله وبركاته
اخواني الاعزاء سوف أضع بين ايديكم مجموعة من المسائل المتعلقة بنظرية الأعداد ذات

الأفكار الجميلة إن شاء الله وستوضع حسب التفاعل علما ان انها منوعة المستوى فأسال الله

البركة في الوقت لي ولكم كما اتمنى المشاركة الفعالة وليس العيب أن نخطئ كما انه

لا إحباط مع الماث ولنبدء بسم الله

السؤال الأول : أوجد كل الأعداد الصحيحة الموجبة

التي تجعل $a^{10} + 1$ يقبل القسمة على 10 .

بواسطة **siddigss** » الاثنين إبريل 02, 2012 7:47 pm

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته

بارك الله فيك أستاذ صديق الرياضيات

بسم الله

أحببت أن أكون أول من يشارك في سلسلتك هذه المرة

نص مخفي:

وفقكم الله

كعادتك مبدع gg:

وإجابة صحيحة أنا سعيد بمشاركتك ايها البطل

السؤال الثاني : أوجد كل الأاعداد الصحيحة الموجبة

التي تجعل

يقبل القسمة على 3

بواسطة **إباء** » الثلاثاء إبريل 03, 2012 7:17 am

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

$n2^n + 1 \equiv 0\;\left( {\bmod 3} \right) \Leftrightarrow n2^n \equiv - 1 \equiv 2\;\left( {\bmod 3} \right)$

بوضع n = 6k + r

حيث $r = 0,1, \ldots ,5$

$\left( {6k + r} \right)2^{6k + r} \equiv r2^{6k} 2^r \equiv r\left( {2^2 } \right)^{3k} 2^r \; \equiv r2^r \left( {\bmod 3} \right)$

ولقيم $r = 0,1, \ldots ,5$ نجد أن $r2^r \equiv 2\left( {\bmod 3} \right)$ فقط عندما r = 1,2

نص مخفي:

أي أن الأعداد المطلوبة هي n=6k+1

و

لقيم k الصحيحة غير السالبة.

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته
سلمت يمينك استاذة إباء وإجابة رائعة gg:

السؤال الثالث : أوجد الخانتين الاخيرتين من العدد $14^{14^{14} }$

بواسطة **siddigss** » الأربعاء إبريل 04, 2012 10:27 pm

السلام عليكم
$\begin{gathered} {\text{Note that:}} \hfill \\ {14^{14}} \equiv 16[20] \to (1) \hfill \\ \Pr oof: \hfill \\ \hfill \\ {\text{Observe that}}:{2^{12}} \cdot {7^{14}} \equiv {2^{26}} \equiv {4^{13}} \equiv {( - 1)^{13}} \equiv - 1 \equiv 4[5] \hfill \\ \hfill \\ \therefore {14^{14}} = {2^{14}} \cdot {7^{14}} \equiv 4 \cdot 4 \equiv 16[20] \hfill \\ \hfill \\ - - - - - - \hfill \\ {2^{{{14}^{14}} - 2}} \equiv 9[25] \to (2) \hfill \\ \Pr oof: \hfill \\ \hfill \\ \varphi (25) = 20 \hfill \\ \hfill \\ From(1):{14^{14}} - 2 \equiv 14[20] \hfill \\ \hfill \\ \therefore 2{}^{{{14}^{14}} - 2} \equiv {2^{14}} \equiv {2^4} \cdot {2^{10}} \equiv 16 \cdot ( - 1) \equiv 9[25] \hfill \\ \hfill \\ - - - - - - - \hfill \\ {7^{{{14}^{14}}}} \equiv 1[25] \to (3) \hfill \\ \Pr oof: \hfill \\ \hfill \\ {7^{{{14}^{14}}}} = {\left( {{7^4}} \right)^{{2^{12}} \cdot {7^{14}}}} = {(2401)^{{2^{12}} \cdot {7^{14}}}} \equiv 1[25] \hfill \\ \hfill \\ - - - - - \hfill \\ (2) \times (3): \hfill \\ \hfill \\ {2^{{{14}^{14}} - 2}} \cdot {7^{{{14}^{14}}}} \equiv 9[25] \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {14^{14}} = 4 \cdot {2^{{{14}^{14}} - 2}} \cdot {7^{14}} \equiv 36[100] \hfill \\ \end{gathered}$

رائع صديق

وإجابة صحيحة

نص مخفي:

وهذه طريقة CC:

... $\begin{array}{l} 14^{14} \equiv (4^2 )^7 \equiv 6(\bmod 10) \\ \\ 14^{10} \equiv (196)^5 \equiv ( - 4)^5 \equiv - 1024 \equiv 76(\bmod 100) \\ {\rm{so }} \\ {\rm{14}}^{14^{14} } \equiv 14^{10t + 6} \equiv 76 \cdot ( - 4)^3 \equiv 76 \cdot 36 \equiv 36(\bmod 100) \\ \end{array}$

..

السؤال الرابع : أثبت انه يمكن التعبير عن كل عدد نسبي موجب على الشكل التالي :

$\frac{{a^3 + b^3 }}{{c^3 + d^3 }}$

حيث a,b,c,d

صحيحة موجبة

بواسطة **siddigss** » الأحد إبريل 08, 2012 9:00 pm

$X = \frac{p}{q} = \frac{{{a^3} + {b^3}}}{{{c^3} + {d^3}}} = \frac{{(a + b)({a^2} + {b^2} - ab)}}{{(c + d)({c^2} + {d^2} - cd)}}$

سوف نختار أعداد a,b,c,d تحقق أن ${a^2} + {b^2} - ab = {c^2} + {d^2} - cd$

لنختر a = c