منتدى الرياضيات رمز • مشاهدة الموضوع - سؤال اليوم 56: متراجحة شيقة

سؤال اليوم 56: متراجحة شيقة

المشرفون: Ould Youbba, المراقبون

إضافة رد

12 مشاركة • صفحة 2 من 2 • 1, 2

Re: سؤال اليوم 56: متراجحة شيقة

بواسطة sabaga » الثلاثاء يناير 03, 2012 9:03 pm

Ould Youbba كتب:
sabaga كتب:الامثال ${a_i};i = \overline {1;n}$ من المعطيات لها نفس الاشارة .

ممتاز
بقيت لك خطوة بسيطة جدا ويكون الجواب كاملا

ان ضاق عليك رزق اليوم فاصبر الى غد عسى نكبات الدهر عنك تزول

sabaga: عضو فـعّـال; مشاركات: 1143; اشترك في: الأربعاء يونيو 25, 2008 1:54 pm; تلقى الشكر: 55 مرة

Re: سؤال اليوم 56: متراجحة شيقة

بواسطة Ould Youbba » الجمعة يناير 06, 2012 4:14 pm

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته.
أشكر أخي sabaga على الجواب والتفاعل .
سأعيد كتابة طريقة جوابك بشكل منظم كي يستفيد الجميع.
سوف نستخدم البرهان بالتراجع (الاستقراء الرياضي).
من أجل n=1

n=1

المتراجحة متحققة لأن : $1+a_1\geq1+a_1$ .
نفرض أن المتراجحة متحققة من أجل $n\in{\mathbb N^*}$ . أي أن :

$(1+a_1)\cdots(1+a_n)\geq1+a_1+\cdots+a_n$

حسب المعطيات فإن $a_{n+1}>-1$ وبالتالي إذا ضربنا طرفي المتراجحة بـ $a_{n+1}+1$ نجد :

$(1+a_1)\cdots(1+a_n)(1+a_{n+1})\geq(1+a_1+\cdots+a_n)(1+a_{n+1})$

وبالتالي نجد :

$(1+a_1)\cdots(1+a_n)(1+a_{n+1})\geq1+a_1+\cdots+a_n+a_{n+1}+(a_1+\cdots+a_n)a_{n+1}$

وحسب المعطيات فإن الأعداد $a_1,\cdots,a_n,a_{n+1}$ لها نفس الإشارة وبالتالي يكون : $(a_1+\cdots+a_n)a_{n+1}\geq0$ فنجد في النهاية :

$(1+a_1)\cdots(1+a_n)(1+a_{n+1})\geq1+a_1+\cdots+a_n+a_{n+1}$

أي أن المتراجحة محققة من أجل n+1

n+1

ونستنتج أن المتراجحة محققة لكل عدد طبيعي $n\in{\mathbb N}$ .

تطبيق :
بأخذ $a_1=a_2=\cdots=a_{n}=x>-1$ نحصل على المتراجحة المعروفة :

$(1+x)^n\geq 1+nx$

والمعروفة بمتراجحة Bernoulli .
تحياتي.

اللهم صل وسلم على سيدنا محمد.

بقدر ما هي الرياضيات صعبة وربما معقدة، بقدر ما هي ممتعة ورائعة.

أخوكم : محمد الحسن ولد يـُـــبَّ

Ould Youbba: مشرف/ نجم رمز; مشاركات: 585; اشترك في: الثلاثاء فبراير 08, 2011 5:49 pm; مكان: نواكشوط، موريتانيا; تلقى الشكر: 158 مرة

إضافة رد

12 مشاركة • صفحة 2 من 2 • 1, 2

العودة إلى سـؤال الـيـوم

الانتقال الى:

الموجودون الآن

المستخدمون المتصفحون لهذا المنتدى: لا يوجد أعضاء مسجلين متصلين و 1 زائر

رياضيات , منتدى , الرياضيات , شبكة , هندسة , جبر , تحليل , حقيقي , تفاضل , تكامل , وتكامل , تبولوجي , توبولجي , نظرية , العدد , حساب , المثلثات , التحليل , المركب , الحقيقي , الزمر , إحصاء , واحتمالات , ديناميكا , استاتيكا , معادلات , تفاضلية , برامج , برنامج , رسم , منحنى , منحنيات , منتدى , المنطق , الرياضي , نظرية , المجموعات , رياضيات , متقطعة , مسائل , تمارين , رياضية , حلول , معادلة , حلقات , حقول , شبكة , موقع الرياضيات , شبكة الرياضيات رمز , تعلم , الليتك , ليتخ, , Puzzles & Mysteries, Foundations , Number Theory, Mathematical Analysis, Modern Algebra, Advanced Geometry, Applied Math & Applications, IMO, International Contests, Single-Variable Calculus, Elementary Algebra, Geometry & Trigonometry, math , problems, Mathematical Books, References & Files, math Software & Programming Languages, Posting with LaTeX

Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
Translated by phpBBArabia