منتدى الرياضيات رمز

بواسطة **روز باريس** » الثلاثاء مارس 13, 2012 3:06 pm

السلام عليكم ورحمة الله و بركاته

لدي بعض التمارين على المتتاليات حاولت في حلها و إن شاء الله أكون قد وفقت فيها

Ex 1 :-

Apply the uniqueness theorem to prove that

$(x_{n})=(-1)^{n}$

is divergent

الحل :

$x_{n}= {-1,1,-1,1,............}$

(use the Archimedean property)

let us suppose that $x_{n}=(-1)^{n}$ is convergent to $x \in R_{+}$ ,then

$\epsilon =1 , \forall N( \epsilon ) \in N , \exists p=2n+1 > N( \epsilon ) , |x_{2n+1} -x|=|-1 -x | \geq 1$ let

and let us suppose that

is convergent to $x \in R_{-}$ ,then

$\epsilon =1 , \forall N( \epsilon ) \in N , \exists p=2n > N( \epsilon ) , |x_{2n} -x|=|1 -x | \geq 1$ let

We conclude that $(x_{n})$ is divergent.

Ex 2 :-

Using the definition, prove that

$\lim \frac{1}{n^{2}+1} =0$

الحل :

$\forall \epsilon > 0 , \exists N( \epsilon ) \in N , \forall n \geq N( \epsilon ) , | \frac{1}{n^{2}+1} - 0 |= \frac{1}{n^{2}+1} < \frac{1}{n} < \epsilon$

Hence, we have shown that the limit of the sequence is zero.

اتمنى منكم التصحيح لو كان هناك خطأ أو إضافه ~

( لا إله إلا أنت سبحانك إني كنت من الظالمين )

بواسطة **Ould Youbba** » الأربعاء مارس 14, 2012 3:00 am

روز باريس كتب:السلام عليكم ورحمة الله و بركاته

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته.

روز باريس كتب:لدي بعض التمارين على المتتاليات حاولت في حلها و إن شاء الله أكون قد وفقت فيها

أريد ان أحييك على طريقة طرحك للأسئلة فأنت تضعين محاولاتك وتحددين أين موقع الصعوبة أو الغموض في السؤال، وهذا هو الأفضل لأنه عندما يقوم أحد الأعضاء بإعطائك الجواب تحصل الفائدة.
[\quote]

روز باريس كتب:Ex 1 :-

Apply the uniqueness theorem to prove that

$(x_{n})=(-1)^{n}$

is divergent

اسمحي لي بأن أقول لك بأن الحل لم يكن مقنعا كفاية.
سنفرض ان المتتالية $\left(x_n\right)_n$ متقاربة نحو عدد حقيقي $\ell$ .
هذا يعني أن :

$\forall\varepsilon >0,\exists N\in\mathbb N,\forall n\in\mathbb N:\quad n\geq N\Rightarrow |x_n-\ell|<\varepsilon$

والآن ليكن $\varepsilon >0$ بما أن $2N\geq N$ فإن : $|x_{2N}-\ell|<\varepsilon$ ، وبالتالي فإن $|(-1)^{2N}-\ell|<\varepsilon$ ، أي أن $|1-\ell|<\varepsilon$ ، وبما أن المتباينة الأخيرة صحيحة لكل $\varepsilon >0$ فإننا نستنتج أن $|1-\ell|=0$ ، أي أن $\ell=1$ .
والآن نعيد نفس الطريقة مع تغيير طفيف :
ليكن $\varepsilon >0$ بما أن $2N+1\geq N$ فإن : $|x_{2N+1}-\ell|<\varepsilon$ ، وبالتالي فإن $|(-1)^{2N+1}-\ell|<\varepsilon$ ، أي أن $|-1-\ell|<\varepsilon$ ، وبما أن المتباينة الأخيرة صحيحة لكل $\varepsilon >0$ فإننا نستنتج أن $|-1-\ell|=0$ ، أي أن $\ell=-1$ .
وهكذا وجدنا قيمتين مختلفتين للنهاية وهذا مستحيل لأن النهاية إن وجدت فإنها وحيدة.
أرجو أن يكون واضحا لك !

روز باريس كتب:Ex 2 :-

Using the definition, prove that

$\lim \frac{1}{n^{2}+1} =0$

الحل :

$\forall \epsilon > 0 , \exists N( \epsilon ) \in N , \forall n \geq N( \epsilon ) , | \frac{1}{n^{2}+1} - 0 |= \frac{1}{n^{2}+1} < \frac{1}{n} < \epsilon$

Hence, we have shown that the limit of the sequence is zero.

انت لم تفعلي شيئا ! يعني أنك كتبت التعريف ثم قلت بأنه أصبحت لديك النهاية المطلوبة !
الحل لا يكون بهذه الطريقة.
الحل يكون بتثبيت $\varepsilon >0$ ، والبحث عن العدد الطبيعي

الذي يحقق الخاصية المطلوبة في التعريف.
في السؤال نريد ان نثبت أن : $\lim_{n\to+\infty}\frac1{n^2+1}=0$ .
ليكن $\varepsilon >0$ ، نبحث عن العدد الطبيعي

الذي يحقق لنا المؤداة التالية :

$\forall n\in\mathbb N,\quad n\geq N\Rightarrow\left|\frac1{n^2+1}\right|<\varepsilon$

إذا كان $\varepsilon\geq1$ فإنه لدينا :

$\forall n\in\mathbb N,\quad \left|\frac1{n^2+1}\right|=\frac1{n^2+1}<1\leq \varepsilon$

أي أن المتباينة المطلوبة محققة.
نفرض أن $\varepsilon <1$ لدينا أن :

$\left|\frac1{n^2+1}\right|<\varepsilon&\iff n^2+1>\frac1\varepsilon\\&\iff n^2>\frac1\varepsilon-1\\&\iff n>\sqrt{\frac1\varepsilon-1}\quad (\ast)$

وبالتالي فإننا نضع $N=\left[\sqrt{\frac1\varepsilon-1}\right]+1$ ، أي الجزء الصحيح للعدد $\sqrt{\frac1\varepsilon-1}$ مضافا إليه الواحد.
والآن ليكن $n\geq N$
لدينا أن :

$n\geq N=\left[\sqrt{\frac1\varepsilon-1}\right]+1>\sqrt{\frac1\varepsilon-1}$

وبالتالي وباستخدام المتكافئات في $(\ast)$ فإننا نجد أن $\frac1{n^2+1}<\varepsilon$ .
وهو المطلوب.

تحياتي.

بواسطة **روز باريس** » الأربعاء مارس 14, 2012 3:14 pm

شكرا لك

وصلت الفكره

جزاك الله خيرا ويجعله في ميزان حسناتك ~

بواسطة **Ould Youbba** » الاثنين إبريل 02, 2012 9:49 pm

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته.

في حلي للسؤال الأول استخدمت هذه العبارة :

عبارة :
ليكن $\color{red}a$ عددا حقيقيا موجبا (أو معدوما) $\color{red}a\geq 0$ . إذا كان :

$\color{red}\forall\varepsilon>0,\quad a\leq \varepsilon$

فإن : $\color{red}a=0$ .

وهذا هو برهانها :
البرهان :
سنفرض أن $a\ne0$ . إذا حينها يكون a>0

.
نضع $\varepsilon=\frac a2$ .
بما أن a>0

فإن $\varepsilon>0$ وبالتالي حسب المعطيات فإن $a\leq \varepsilon=\frac a2$ .
وبضرب طرفي المتباينة في العدد الموجب $\frac 1a$ نحصل على $1\leq\frac12$ وهذا مستحيل.
نستنتج أنه يلزم أن يكون a=0