منتدى الرياضيات رمز

بواسطة **sabaga** » الجمعة أغسطس 01, 2008 3:50 pm

On pose
$u_n = \frac{1}{{1 + \ln (n)}}$ et
$s_n = u_1 + u_2 + ... + u_n $

La suite
$\left( {u_n } \right )$

des termes positifs

On a $s_n = u_1 + u_2 + ... + u_n $

donc

$s_n = 1 + \frac{1}{{1 + \ln 1}} + \frac{1}{{1 + \ln 2}} + ... + \frac{1}{{1 + \ln (n)}} \ge \frac{n}{{\ln (n)}} \]$

Et $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{n}{{\ln (n)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{\frac{{\ln (n)}}{n}}} = + \infty$ la suite $\left( {s_n } \right)$
des sommes partielles divergente donc
La suite $\left( {u_n } \right)$
divergente c’est-à-dire , donc d’après la critère
$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{u_{n + 1} }}{{u_n }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{u_n }} = l > 1$
la série $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\sqrt[n]{{\frac{1}{{1 + \ln (n)}}}}}$ divergente

بواسطة **sabaga** » الاثنين فبراير 06, 2012 8:15 am

On pose
$u_n = \frac{1}{{1 + \ln (n)}}$ et
s_n = u_1 + u_2 + ... + u_n

La suite
$\left( {u_n } \right )$

des termes positifs

On a s_n = u_1 + u_2 + ... + u_n

donc

$s_n = 1 + \frac{1}{{1 + \ln 1}} + \frac{1}{{1 + \ln 2}} + ... + \frac{1}{{1 + \ln (n)}} \ge \frac{n}{{\ln (n)}} \]$

Et $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{n}{{\ln (n)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{\frac{{\ln (n)}}{n}}} = + \infty$ la suite $\left( {s_n } \right)$
des sommes partielles divergente donc
La suite $\left( {u_n } \right)$
divergente c’est-à-dire , donc d’après la critère
$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{u_{n + 1} }}{{u_n }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{u_n }} = l > 1$
la série $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\sqrt[n]{{\frac{1}{{1 + \ln (n)}}}}}$ divergente