منتدى الرياضيات رمز

بواسطة **المحترف** » الأربعاء يناير 19, 2011 1:38 am

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
هذا الموضوع النظري الأول .. توكلنا على الله

1 متطابقات المجموع والفرق Sum and Difference Identities

$\begin{array}{l} a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \\ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2 ) \\ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2 ) \\ a^4 - b^4 = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2 ) \\ a^2 + b^2 = a^2 + b^2 \\ a^4 + b^4 = a^4 + b^4 \\ \end{array}$

$\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2 - \left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)^2 = ab$

a^4 + 4b^4 = (a^2 + 2ab + 2b^2 )(a^2 - 2ab + 2b^2 )

a^4 + 4b^4 = (a^2 + 2ab + 2b^2 )(a^2 - 2ab + 2b^2 )

نظرية ذات الحدين Binomial Theorem: إذا كان x,y

عددين و $n \ge 0$ عدد صحيح فإن

$(x + y)^n = \left( \begin{array}{c} n \\ 0 \\ \end{array} \right)x^n + \left( \begin{array}{c} n \\ 1 \\ \end{array} \right)x^{n - 1} y^1 + \left( \begin{array}{c} n \\ 2 \\ \end{array} \right)x^{n - 2} y^2 + \cdots + \left( \begin{array}{c} n \\ n \\ \end{array} \right)y^n$

حيث $\left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array} \right) = \frac{{n(n - 1)(n - 2) \cdots (n - k + 1)}}{{k(k - 1)(k - 2) \cdots 1}}.$ .

حالات خاصة من نظرية ذات الحدين وذلك عندما n = 2,3,4

$\begin{array}{l} (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 , \\ (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 , \\ (x + y)^3 = x^3 + 3x^2 y + 3xy^2 + y^3 , \\ (x - y)^3 = x^3 - 3x^2 y + 3xy^2 - y^3 , \\ (x + y)^4 \: = \:x^4 \, + \,4x^3 y\, + \,6x^2 y^2 \, + \,4xy^3 \, + \,y^4 , \\ (x - y)^4 \: = \:x^4 \, - \,4x^3 y\, + \,6x^2 y^2 - \,4xy^3 \, + \,y^4 . \\ \end{array}$

2 متطابقات في ثلاثة متغيرات 3-Variables Identities

$\begin{array}{l} (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \\ (a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) \\ \end{array}$

$\begin{array}{*{20}c} {\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)} \hfill & { = ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + 2abc} \hfill \\ {} \hfill & { = \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) - abc} \hfill \\ \end{array}$

$\begin{array}{*{20}c} {a^3 + b^3 + c^3 - 3abc} \hfill & { = \left( {a + b + c} \right)\left( {a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca} \right)} \hfill \\ {} \hfill & { = \frac{1}{2}\left( {a + b + c} \right)\left( {(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 } \right)} \hfill \\ \end{array}$

3 متطابقات فرق ومجموع قوى Power Identities

إذا كان n > 1

عدد صحيح فإن

$\begin{array}{*{20}c} {x^n - y^n } \hfill & { = (x - y)(x^{n - 1} + x^{n - 2} y + \cdots + xy^{n - 2} + y^{n - 1} )} \hfill \\ {x^n - 1} \hfill & { = (x - 1)(x^{n - 1} + x^{n - 2} + \cdots + x + 1)} \hfill \\ {a^m ^n - 1} \hfill & { = (a^m - 1)(a^m ^{(n - 1)} + a^m ^{(n - 2)} + \cdots + a^m + 1)} \hfill \\ \end{array}$

المتطابقة الثانية تنتج من الأولى بوضع y = 1

والثالثة تنتج من الثانية بوضع x = a^m

.

إذا كان n > 1

عدد فردي فإن

$\begin{array}{l} x^n + y^n = (x + y)(x^{n - 1} - x^{n - 2} y + \cdots - xy^{n - 2} + y^{n - 1} ) \\ x^n + 1\,\,\,\, = (x + 1)(x^{n - 1} - x^{n - 2} + \cdots - x + 1) \\ \end{array}$

حيث المتطابقة الثانية ناتجة من الأولى بوضع y = 1

.

إذا كان n > 1

عدد صحيح فإن

$(x + a)(x^2 + a^2 )(x^{2^2 } + a^{2^2 } ) \cdots (x^{2^n } + a^{2^n } ) = \frac{{x^{2^{n + 1} } - a^{2^{n + 1} } }}{{x - a}}$

مجاميع Summations

$\begin{array}{l} \sum\limits_{i = 1}^n 1 = n \\ \sum\limits_{k = 1}^n k = \frac{{n(n + 1)}}{2} \\ \sum\limits_{k = 1}^n {k^2 } = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6} \\ \sum\limits_{k = 1}^n {k^3 } = \left( {\frac{{n(n + 1)}}{2}} \right)^2 = \left( {1 + 2 + \cdots + n} \right)^2 \\ \end{array}$

$\begin{array}{l} \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {x^i } = \frac{{1 - x^n }}{{1 - x}} \\ \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} i x^i = \frac{{x - nx^n + (n - 1)x^{n + 1} }}{{(1 - x)^2 }} \\ \end{array}$

>>>>>>>>>>>>>> يتبع

بواسطة **المحترف** » الخميس يناير 20, 2011 12:49 am

4 متطابقات في ثلاثة متغيرات 3-Variables Identities

$\begin{array}{l} (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca, \\ (a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a + b)(b + c)(c + a), \\ \end{array}$

$\begin{array}{*{20}c} {\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)} \hfill & { = ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + 2abc} \hfill \\ {} \hfill & { = \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) - abc} \hfill \\ \end{array},$

$\begin{array}{*{20}c} {a^3 + b^3 + c^3 - 3abc} \hfill & { = \left( {a + b + c} \right)\left( {a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca} \right)} \hfill \\ {} \hfill & { = \frac{1}{2}\left( {a + b + c} \right)\left( {(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 } \right).} \hfill \\ \end{array}$

5 متطابقات متنوعة Miscellaneous Identities

$\begin{array}{l} \left( {a^2 - b^2 } \right)^2 + \left( {2ab} \right)^2 = \left( {a^2 + b^2 } \right)^2 , \\ \left( {a^2 - b^2 - c^2 } \right)^2 + \left( {2ab} \right)^2 + \left( {2ac} \right)^2 = \left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right)^2 , \\ \left( {a^2 - b^2 - c^2 - d^2 } \right)^2 + \left( {2ab} \right)^2 + \left( {2ac} \right)^2 + \left( {2ad} \right)^2 = \left( {a^2 + b^2 + c^2 + d^2 } \right)^2 . \\ \end{array}$

متطابقة براهماغوبتا Brahmagupta Identity

$\begin{array}{*{20}c} {\left( {a^2 + b^2 } \right)\left( {c^2 + d^2 } \right)} \hfill & { = \left( {ac + bd} \right)^2 + \left( {ad - bc} \right)^2 } \hfill \\ {} \hfill & { = \left( {ac - bd} \right)^2 + \left( {ad + bc} \right)^2 .} \hfill \\ \end{array}$

متطابقة لاجرانج Lagrange's identity : إذا كانت a_i ,b_i

أعداد حقيقية أو مركبة فإن

$(\sum\limits_{k = 1}^n {a_k^2 } )(\sum\limits_{k = 1}^n {b_k^2 } ) - (\sum\limits_{k = 1}^n {a_k } b_k )^2 = \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\sum\limits_{j = i + 1}^n ( } a_i b_j - a_j b_i )^2 = \frac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n ( } a_i b_j - a_j b_i )^2 .$

......

لو سمحت انا لسة مبتدئ وعايز اعرف المجاميع واسم الرمز المستخدم وبنستخدمها فين

بواسطة **mariame** » الأحد إبريل 22, 2012 4:05 pm

شكرا

شكرا

منتدى الرياضيات رمز

متطابقات جبرية أساسية

متطابقات جبرية أساسية

Re: متطابقات جبرية أساسية

Re: متطابقات جبرية أساسية

Re: متطابقات جبرية أساسية

Re: متطابقات جبرية أساسية

الموجودون الآن