منتدى الرياضيات رمز

إجابة موفقة

والان أوجد جميع الحلول الصحيحة الموجبة للمعادلة التالية :

$\left[ {\frac{1} {{10}}} \right] + \left[ {\frac{2} {{10}}} \right] + \cdot \cdot \cdot \left[ {\frac{{n - 1}} {{10}}} \right] + \left[ {\frac{n} {{10}}} \right] = 217$

بالتوفيق hello:

نص مخفي:

بواسطة **anwarKK** » الاثنين أغسطس 02, 2010 9:34 pm

أولا أعتذر عن التأخير بسبب انشغالي في هذه الأيام

ثانيا شكرا أخي على كل مسائلك الجميلة واليك الحل

بفرض أن

$n = 10m + r{\rm , m} \in {\rm N}$

و r عدد صحيح موجب أقل من 10

نجد أن

$\left\lfloor {\frac{1}{{10}}} \right\rfloor + \left\lfloor {\frac{2}{{10}}} \right\rfloor + ... + \left\lfloor {\frac{n}{{10}}} \right\rfloor = 5m^2 + (r - 4)m$

وبالتالي تصبح المعادلة على الصورة

$\Rightarrow m = \frac{{(4 - r) \pm \sqrt {(r - 4)^2 + 4340} }}{{10}}$

عند التعويض بقيم r الممكنة نجد أن القيمة الوحيدة التي تعطي m قيمة صحيحة موجبة هي r=0

$r = 0 \wedge m = 7 \Rightarrow n = 70$

وهو الحل الوحيد
وشكرا دائما hello:

إجابة

حل المعادلة في مجموعة الاعداد الصحيحة الموجبة :

$\left[ {\sqrt[3]{1}} \right] + \left[ {\sqrt[3]{2}} \right] + \cdot \cdot \cdot \left[ {\sqrt[3]{{x^3 - 1}}} \right] = 400$

hello:

بواسطة **Sawfell** » الاثنين أغسطس 09, 2010 4:38 pm

السلام عليكم

أستاذي صديق الرياضيات.. أشكرك جزيل الشكر على أسئلتك الجميلة وهذا حل السؤال الأخير:

(x+1)^3-x^3=3x^2+3x+1

$\left[ {\sqrt[3]{1}} \right] + \left[ {\sqrt[3]{2}} \right] + \cdot \cdot \cdot +\left[ {\sqrt[3]{{x^3 - 1}}} \right]$

$\left[ {\sqrt[3]{{x^3 - 1}}} \right] = x-1,$ ..

$\Leftrightarrow \sum\limite_{k=1}^{x-1} {3k^3+3k^2+k} = \frac {(x-1)(x)} {2} + \frac {(x-1)(x)(2x-1)} {2} + 3 [\frac {(x-1)(x)} {2}]^2$

وبحل هذه المعادلة بعد مساواتها ب 400

ينتج أن

$\begin{gathered} {\text{given any }}n \in \mathbb{N},{\text{find the number of solutions of the equation}} \hfill \\ \hfill \\ x^2 - \left[ {x^2 } \right] = \left\{ x \right\}^2 \hfill \\ \hfill \\ {\text{satisfying }} \hfill \\ \hfill \\ 1 \leqslant x \leqslant n \hfill \\ \end{gathered}$