مسائل التحدي في الرياضيات ليست مقتصرة على مستوى ما قبل الأولمبياد (الثانوي) بل هي موجودة في كل المستويات. وهي تتطلب من الطالب أن يكون له إلمام جيد بالمادة العلمية التي درسها في الجامعة وذكاء. علما بأن هذا النوع من المسائل يعطى في الاختبارات للطلاب في بعض الجامعات المرموقة والمدارس العليا المتميزة. ونظرا لوجود طلاب جامعة متميزين في هذا المنتدى وحتى تكون لهم مسائل في مستواهم فإني سوف أبدأ إن شاء الله هذه السلسلة من مسائل التحدي مع الملاحظة أن جل هذه المسائل تعطى في هذه الجامعات في المستوى الرابع (السنة الثانية). هذا لا يعني أن الطلاب الذين أنهو مرحلة البكلوريوس ليس لهم الحق في المشاركة. بالعكس ، بل هناك بعض التطبيقات لهذه المسائل في مستوى الماجستير وأحيانا في كل التخصصات (جبر، هندسة تفاضلية، توبولوجيا، تحليل دالي، تحليل توافقي إلخ...).
نبدأ إذن بالمسألة الأولى وسوف نصعب تدريجيا بناء على تجاوبات أعضاء المنتدى:
السؤال الأول:
![\begin{array}{l}
Let\ f:[a,b]\to \mathbb C\ be\ a\ continuous\ function\ such\ that\ for\ any\ polynomial\\ function\ P\ we\ have\ \int_a^bf(t)P(t)dt=0.\ Prove\ that\ f=0.\end{array}](/xyz/latexrender/pictures/34a4ccfaf8a2eaade55b0de4f534fd30.png "\begin{array}{l}
Let\ f:[a,b]\to \mathbb C\ be\ a\ continuous\ function\ such\ that\ for\ any\ polynomial\\ function\ P\ we\ have\ \int_a^bf(t)P(t)dt=0.\ Prove\ that\ f=0.\end{array}")
ترجمة: لتكن الدالة متصلة بحيث لكل كثيرة حدود التكامل يعطي صفر. أثبت أن الدالة تساوي صفر.
طبعا هذا السؤال له مدلول في التحليل الدالي نعلق عليه بعدما أرى الحلول.
أنتظر إن شاء الله أسبوعا وبعدها أبدأ في إعطاء تلميحات.
و ينتج المطلوب ...
وليست في 
.
. خذ مثلا 
.
دالة متصلة من ![[a,b]](/xyz/latexrender/pictures/2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png "[a,b]")
نحو
تحقق
بحيث 
فإن ![\begin{array}{ll}
\int_a^bf^2(t)dt&=\int_a^bf(t)\left [f(t)-P_n(t)\right ]dt+\int_a^bf(t)P_n(t)dt\\
&=\int_a^bf(t)\left [f(t)-P_n(t)\right ]dt+0\\
&= \int_a^bf(t)\left [f(t)-P_n(t)\right]dt\end{array}](/xyz/latexrender/pictures/32b190bbefde8416261aba8925dcc513.png "\begin{array}{ll}
\int_a^bf^2(t)dt&=\int_a^bf(t)\left [f(t)-P_n(t)\right ]dt+\int_a^bf(t)P_n(t)dt\\
&=\int_a^bf(t)\left [f(t)-P_n(t)\right ]dt+0\\
&= \int_a^bf(t)\left [f(t)-P_n(t)\right]dt\end{array}")
![\left |\int_a^bf(t)\left [f(t)-P_n(t)\right]dt\right |\leq (b-a)\|f\|_\infty\left \| f-P_n \right \|_\infty](/xyz/latexrender/pictures/2348d5caac7afc0f0993a37fbdaa55f9.png "\left |\int_a^bf(t)\left [f(t)-P_n(t)\right]dt\right |\leq (b-a)\|f\|_\infty\left \| f-P_n \right \|_\infty")
وبالتالي فإن 
حيث 
دوال حقيقية.
. أي أن 
.
