السلام عليكم
مهلة الحل إلى 15 غشت 2011
منتدى الرياضيات رمز
أول منتدى عربي قدم الرياضيات بأكواد الليتك لنقاش علمي في الجبر , الهندسة , التحليل , نظرية الأعداد
cmj may 2011 955 [تم الحل]
المشرف: المراقبون
25 مشاركة
• صفحة 1 من 3 • 1, 2, 3
cmj may 2011 955 [تم الحل]
بواسطة amzilfree » الأحد يوليو 03, 2011 7:08 pm
- المرفقات
-
- S.JPG (22.48 KiB) شوهد 1314 مرات
آخر تعديل بواسطة amzilfree في الثلاثاء يوليو 12, 2011 12:55 am، عدل 2 مرات
فلا تغرنك الدنيا وزينتها
وانظر إلى فعلها في الأهل و الوطن
وانظر إلى من حبا الدنيا وزينها
هل راح منها بغير الحنط و الكفن
-
amzilfree - عـــضــــو رائــــد
- مشاركات: 570
- اشترك في: السبت إبريل 10, 2010 7:24 pm
- مكان: المغرب
- تلقى الشكر: 37 مرة
Re: cmj may 2011 955
بواسطة amzilfree » الأحد يوليو 03, 2011 7:11 pm
السلام عليكم
-------
الحل الأول
-------
الحل الأول
آخر تعديل بواسطة amzilfree في الثلاثاء يوليو 12, 2011 12:11 am، عدل 1 مرة
فلا تغرنك الدنيا وزينتها
وانظر إلى فعلها في الأهل و الوطن
وانظر إلى من حبا الدنيا وزينها
هل راح منها بغير الحنط و الكفن
-
amzilfree - عـــضــــو رائــــد
- مشاركات: 570
- اشترك في: السبت إبريل 10, 2010 7:24 pm
- مكان: المغرب
- تلقى الشكر: 37 مرة
Re: cmj may 2011 955
بواسطة amzilfree » الأحد يوليو 03, 2011 10:04 pm
1/لنبين أولا أن
![\[
\begin{gathered}
\forall a,b,c > 0 \hfill \\
3\left( {\sum {ab} } \right) - abc \leqslant \sqrt {3\left( {\sum {ab} } \right) + abc + 54} \hfill \\
\end{gathered}
\]](/xyz/latexrender/pictures/d074f603e1e375ef579bb9d6a83245d0.png "\[
\begin{gathered}
\forall a,b,c > 0 \hfill \\
3\left( {\sum {ab} } \right) - abc \leqslant \sqrt {3\left( {\sum {ab} } \right) + abc + 54} \hfill \\
\end{gathered}
\]")
أولا لدينا
![\[
\begin{gathered}
\left( 1 \right)\_\_\_\_\_3\left( {\sum {ab} } \right) \leqslant \left( {\sum a } \right)^2 \Rightarrow \sum {ab} \leqslant 3 \hfill \\
\left( 2 \right)\_\_\_\_\_abc \leqslant \left( {\frac{{\left( {\sum a } \right)}}
{3}} \right)^3 \Rightarrow abc \leqslant 1 \hfill \\
\left( 3 \right)\_\_\_\_\_ - 6abc\left( {\sum {ab} } \right) = - 6a^2 b^2 c^2 \sum {\frac{1}
{a}} \wedge \sum {\frac{1}
{a}} \geqslant 3 \Rightarrow - 6abc\left( {\sum {ab} } \right) \leqslant - 18 \hfill \\
\end{gathered}
\]](/xyz/latexrender/pictures/fa993de074b1d8a982a22c087d61089c.png "\[
\begin{gathered}
\left( 1 \right)\_\_\_\_\_3\left( {\sum {ab} } \right) \leqslant \left( {\sum a } \right)^2 \Rightarrow \sum {ab} \leqslant 3 \hfill \\
\left( 2 \right)\_\_\_\_\_abc \leqslant \left( {\frac{{\left( {\sum a } \right)}}
{3}} \right)^3 \Rightarrow abc \leqslant 1 \hfill \\
\left( 3 \right)\_\_\_\_\_ - 6abc\left( {\sum {ab} } \right) = - 6a^2 b^2 c^2 \sum {\frac{1}
{a}} \wedge \sum {\frac{1}
{a}} \geqslant 3 \Rightarrow - 6abc\left( {\sum {ab} } \right) \leqslant - 18 \hfill \\
\end{gathered}
\]")
إذن
![\[
\begin{gathered}
3\left[ {\left( {\sum {ab} - 3} \right)\left( {3\sum {ab} + 8} \right)} \right] + abc\left( {abc - 1} \right) - 6abc\left( {\sum {ab} } \right) \leqslant - 18 + 0 + 0 \hfill \\
\Rightarrow 9\left( {\sum {ab} } \right)^2 - 3\sum {ab + a^2 b^2 c^2 - abc} - 6abc\left( {\sum {ab} } \right) \leqslant 54 \hfill \\
\Rightarrow \left( {3\left( {\sum {ab} } \right) - abc} \right)^2 \leqslant 3\left( {\sum {ab} } \right) + abc + 54 \wedge 3\left( {\sum {ab} } \right) - abc \geqslant 8abc > 0 \hfill \\
\Rightarrow 9\left( {\sum {ab} } \right) - 3abc \leqslant 3\sqrt {3\left( {\sum {ab} } \right) + abc + 54} \hfill \\
\hfill \\
\hfill \\
\end{gathered}
\]](/xyz/latexrender/pictures/0826360ccb21d23acac0935ed7d01a1c.png "\[
\begin{gathered}
3\left[ {\left( {\sum {ab} - 3} \right)\left( {3\sum {ab} + 8} \right)} \right] + abc\left( {abc - 1} \right) - 6abc\left( {\sum {ab} } \right) \leqslant - 18 + 0 + 0 \hfill \\
\Rightarrow 9\left( {\sum {ab} } \right)^2 - 3\sum {ab + a^2 b^2 c^2 - abc} - 6abc\left( {\sum {ab} } \right) \leqslant 54 \hfill \\
\Rightarrow \left( {3\left( {\sum {ab} } \right) - abc} \right)^2 \leqslant 3\left( {\sum {ab} } \right) + abc + 54 \wedge 3\left( {\sum {ab} } \right) - abc \geqslant 8abc > 0 \hfill \\
\Rightarrow 9\left( {\sum {ab} } \right) - 3abc \leqslant 3\sqrt {3\left( {\sum {ab} } \right) + abc + 54} \hfill \\
\hfill \\
\hfill \\
\end{gathered}
\]")
.........................
أولا لدينا
إذن
.........................
فلا تغرنك الدنيا وزينتها
وانظر إلى فعلها في الأهل و الوطن
وانظر إلى من حبا الدنيا وزينها
هل راح منها بغير الحنط و الكفن
-
amzilfree - عـــضــــو رائــــد
- مشاركات: 570
- اشترك في: السبت إبريل 10, 2010 7:24 pm
- مكان: المغرب
- تلقى الشكر: 37 مرة
Re: cmj may 2011 955
بواسطة amzilfree » الأحد يوليو 03, 2011 10:10 pm
![\[
\begin{gathered}
\hfill 9\left( {\sum {ab} } \right) - 3abc = 3\left( {\sum {ab} } \right) - 3abc + 6\left( {\sum {ab} } \right) \\
\hfill = 3\left( {\sum {ab} } \right) - \sum {abc} + 6\left( {\sum {ab} } \right) = \left( {\sum {3ab - abc} } \right) + 6\left( {\sum {ab} } \right) \\
\hfill = \sum {ab\left( {a + b} \right)} + 6\sum {ab} = \left( {\sum {ab\left( {a + 3} \right)} } \right) + \left( {\sum {ab\left( {b + 3} \right)} } \right) \\
\hfill from.AM - GM \\
\hfill 9\left( {\sum {ab} } \right) - 3abc = \left( {\sum {ab\left( {a + 3} \right)} } \right) + \left( {\sum {ab\left( {b + 3} \right)} } \right) \\
\hfill \geqslant 2\sqrt {\left( {\sum {ab\left( {a + 3} \right)} } \right)\left( {\sum {ab\left( {b + 3} \right)} } \right)} - - - \left( 1 \right) \\
\hfill 9\left( {\sum {ab} } \right) - 3abc \leqslant 3\sqrt {3\left( {\sum {ab} } \right) + abc + 54} = 3\sqrt {\left( {a + 3} \right)\left( {b + 3} \right)\left( {c + 3} \right)} - - - \left( 2 \right) \\
\hfill so.we.get.from\left( 1 \right)and\left( 2 \right) \\
\hfill 2\sqrt {\left( {\sum {ab\left( {a + 3} \right)} } \right)\left( {\sum {ab\left( {b + 3} \right)} } \right)} \leqslant 3\sqrt {\left( {a + 3} \right)\left( {b + 3} \right)\left( {c + 3} \right)} \\
\hfill \Rightarrow \sqrt {\frac{{\left( {\sum {ab\left( {a + 3} \right)} } \right)\left( {\sum {ab\left( {b + 3} \right)} } \right)}}
{{\left( {a + 3} \right)\left( {b + 3} \right)\left( {c + 3} \right)}}} \leqslant \frac{3}
{2} \\
\hfill \\
\end{gathered}
\]](/xyz/latexrender/pictures/d2a07624be526bcb3774e6a1172b55b3.png "\[
\begin{gathered}
\hfill 9\left( {\sum {ab} } \right) - 3abc = 3\left( {\sum {ab} } \right) - 3abc + 6\left( {\sum {ab} } \right) \\
\hfill = 3\left( {\sum {ab} } \right) - \sum {abc} + 6\left( {\sum {ab} } \right) = \left( {\sum {3ab - abc} } \right) + 6\left( {\sum {ab} } \right) \\
\hfill = \sum {ab\left( {a + b} \right)} + 6\sum {ab} = \left( {\sum {ab\left( {a + 3} \right)} } \right) + \left( {\sum {ab\left( {b + 3} \right)} } \right) \\
\hfill from.AM - GM \\
\hfill 9\left( {\sum {ab} } \right) - 3abc = \left( {\sum {ab\left( {a + 3} \right)} } \right) + \left( {\sum {ab\left( {b + 3} \right)} } \right) \\
\hfill \geqslant 2\sqrt {\left( {\sum {ab\left( {a + 3} \right)} } \right)\left( {\sum {ab\left( {b + 3} \right)} } \right)} - - - \left( 1 \right) \\
\hfill 9\left( {\sum {ab} } \right) - 3abc \leqslant 3\sqrt {3\left( {\sum {ab} } \right) + abc + 54} = 3\sqrt {\left( {a + 3} \right)\left( {b + 3} \right)\left( {c + 3} \right)} - - - \left( 2 \right) \\
\hfill so.we.get.from\left( 1 \right)and\left( 2 \right) \\
\hfill 2\sqrt {\left( {\sum {ab\left( {a + 3} \right)} } \right)\left( {\sum {ab\left( {b + 3} \right)} } \right)} \leqslant 3\sqrt {\left( {a + 3} \right)\left( {b + 3} \right)\left( {c + 3} \right)} \\
\hfill \Rightarrow \sqrt {\frac{{\left( {\sum {ab\left( {a + 3} \right)} } \right)\left( {\sum {ab\left( {b + 3} \right)} } \right)}}
{{\left( {a + 3} \right)\left( {b + 3} \right)\left( {c + 3} \right)}}} \leqslant \frac{3}
{2} \\
\hfill \\
\end{gathered}
\]")
فلا تغرنك الدنيا وزينتها
وانظر إلى فعلها في الأهل و الوطن
وانظر إلى من حبا الدنيا وزينها
هل راح منها بغير الحنط و الكفن
-
amzilfree - عـــضــــو رائــــد
- مشاركات: 570
- اشترك في: السبت إبريل 10, 2010 7:24 pm
- مكان: المغرب
- تلقى الشكر: 37 مرة
Re: cmj may 2011 955
بواسطة amzilfree » الأحد يوليو 03, 2011 10:39 pm
الان لدينا باستعمال متفاوتة كوشي شوارتز
![\[
\begin{gathered}
\left( {1 + 1 + 1 + 1} \right)\left( {x^2 + 1 + 1 + 1} \right) \geqslant \left( {x + 3} \right)^2 \hfill \\
\Rightarrow \sqrt[4]{{x^2 + 3}} \geqslant \sqrt {\frac{{\left( {x + 3} \right)}}
{2}} \hfill \\
\sum {\frac{{ab}}
{{\sqrt[4]{{c^2 + 3}}}}} \leqslant \sqrt 2 \sum {\frac{{ab}}
{{\sqrt {c + 3} }}} = \sqrt 2 \frac{{\sum {ab\sqrt {\left( {a + 3} \right)\left( {b + 3} \right)} } }}
{{\sqrt {\left( {a + 3} \right)\left( {b + 3} \right)\left( {c + 3} \right)} }} \hfill \\
from.Gauchy.Again \hfill \\
\hfill \\
\sqrt 2 \frac{{\sum {ab\sqrt {\left( {a + 3} \right)\left( {b + 3} \right)} } }}
{{\sqrt {\left( {a + 3} \right)\left( {b + 3} \right)\left( {c + 3} \right)} }} \leqslant \sqrt 2 \sqrt {\frac{{\left( {\sum {ab\left( {a + 3} \right)} } \right)\left( {\sum {ab\left( {b + 3} \right)} } \right)}}
{{\left( {a + 3} \right)\left( {b + 3} \right)\left( {c + 3} \right)}}} \leqslant \sqrt 2 \times \frac{3}
{2} \hfill \\
finally \hfill \\
\hfill \\
\sum {\frac{{ab}}
{{\sqrt[4]{{c^2 + 3}}}}} \leqslant \frac{{3\sqrt 2 }}
{2}/a + b + c = 3 \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered}
\]](/xyz/latexrender/pictures/abe242f54993e2dc50983f1b1ff147c8.png "\[
\begin{gathered}
\left( {1 + 1 + 1 + 1} \right)\left( {x^2 + 1 + 1 + 1} \right) \geqslant \left( {x + 3} \right)^2 \hfill \\
\Rightarrow \sqrt[4]{{x^2 + 3}} \geqslant \sqrt {\frac{{\left( {x + 3} \right)}}
{2}} \hfill \\
\sum {\frac{{ab}}
{{\sqrt[4]{{c^2 + 3}}}}} \leqslant \sqrt 2 \sum {\frac{{ab}}
{{\sqrt {c + 3} }}} = \sqrt 2 \frac{{\sum {ab\sqrt {\left( {a + 3} \right)\left( {b + 3} \right)} } }}
{{\sqrt {\left( {a + 3} \right)\left( {b + 3} \right)\left( {c + 3} \right)} }} \hfill \\
from.Gauchy.Again \hfill \\
\hfill \\
\sqrt 2 \frac{{\sum {ab\sqrt {\left( {a + 3} \right)\left( {b + 3} \right)} } }}
{{\sqrt {\left( {a + 3} \right)\left( {b + 3} \right)\left( {c + 3} \right)} }} \leqslant \sqrt 2 \sqrt {\frac{{\left( {\sum {ab\left( {a + 3} \right)} } \right)\left( {\sum {ab\left( {b + 3} \right)} } \right)}}
{{\left( {a + 3} \right)\left( {b + 3} \right)\left( {c + 3} \right)}}} \leqslant \sqrt 2 \times \frac{3}
{2} \hfill \\
finally \hfill \\
\hfill \\
\sum {\frac{{ab}}
{{\sqrt[4]{{c^2 + 3}}}}} \leqslant \frac{{3\sqrt 2 }}
{2}/a + b + c = 3 \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered}
\]")
فلا تغرنك الدنيا وزينتها
وانظر إلى فعلها في الأهل و الوطن
وانظر إلى من حبا الدنيا وزينها
هل راح منها بغير الحنط و الكفن
-
amzilfree - عـــضــــو رائــــد
- مشاركات: 570
- اشترك في: السبت إبريل 10, 2010 7:24 pm
- مكان: المغرب
- تلقى الشكر: 37 مرة
Re: cmj may 2011 955
بواسطة amzilfree » الأحد يوليو 03, 2011 10:41 pm
تم بحمد الله
المرجو التدقيق في الحل
المرجو التدقيق في الحل
فلا تغرنك الدنيا وزينتها
وانظر إلى فعلها في الأهل و الوطن
وانظر إلى من حبا الدنيا وزينها
هل راح منها بغير الحنط و الكفن
- تم تقديم الشكر لـ amzilfree على هذه المشاركة من قبل :
- Ould Youbba
-
amzilfree - عـــضــــو رائــــد
- مشاركات: 570
- اشترك في: السبت إبريل 10, 2010 7:24 pm
- مكان: المغرب
- تلقى الشكر: 37 مرة
Re: cmj may 2011 955
بواسطة amzilfree » الثلاثاء يوليو 12, 2011 12:13 am
السلام عليكم
هذا حل أخر إن شاء الله
هذا حل أخر إن شاء الله
فلا تغرنك الدنيا وزينتها
وانظر إلى فعلها في الأهل و الوطن
وانظر إلى من حبا الدنيا وزينها
هل راح منها بغير الحنط و الكفن
-
amzilfree - عـــضــــو رائــــد
- مشاركات: 570
- اشترك في: السبت إبريل 10, 2010 7:24 pm
- مكان: المغرب
- تلقى الشكر: 37 مرة
Re: cmj may 2011 955
بواسطة amzilfree » الثلاثاء يوليو 12, 2011 12:23 am
آخر تعديل بواسطة amzilfree في الثلاثاء يوليو 12, 2011 12:39 am، عدل 1 مرة
فلا تغرنك الدنيا وزينتها
وانظر إلى فعلها في الأهل و الوطن
وانظر إلى من حبا الدنيا وزينها
هل راح منها بغير الحنط و الكفن
-
amzilfree - عـــضــــو رائــــد
- مشاركات: 570
- اشترك في: السبت إبريل 10, 2010 7:24 pm
- مكان: المغرب
- تلقى الشكر: 37 مرة
Re: cmj may 2011 955
بواسطة amzilfree » الثلاثاء يوليو 12, 2011 12:30 am
آخر تعديل بواسطة amzilfree في الثلاثاء يوليو 12, 2011 12:34 am، عدل 1 مرة
فلا تغرنك الدنيا وزينتها
وانظر إلى فعلها في الأهل و الوطن
وانظر إلى من حبا الدنيا وزينها
هل راح منها بغير الحنط و الكفن
-
amzilfree - عـــضــــو رائــــد
- مشاركات: 570
- اشترك في: السبت إبريل 10, 2010 7:24 pm
- مكان: المغرب
- تلقى الشكر: 37 مرة
Re: cmj may 2011 955
بواسطة amzilfree » الثلاثاء يوليو 12, 2011 12:30 am
....................
آخر تعديل بواسطة amzilfree في الثلاثاء يوليو 12, 2011 12:35 am، عدل 1 مرة
فلا تغرنك الدنيا وزينتها
وانظر إلى فعلها في الأهل و الوطن
وانظر إلى من حبا الدنيا وزينها
هل راح منها بغير الحنط و الكفن
-
amzilfree - عـــضــــو رائــــد
- مشاركات: 570
- اشترك في: السبت إبريل 10, 2010 7:24 pm
- مكان: المغرب
- تلقى الشكر: 37 مرة
25 مشاركة
• صفحة 1 من 3 • 1, 2, 3
العودة إلى أرشيف مجموعة ماث رمز لحل المسائل
الموجودون الآن
المستخدمون المتصفحون لهذا المنتدى: لا يوجد أعضاء مسجلين متصلين و 0 زائر/زوار