منتدى الرياضيات رمز

بواسطة **phiset** » السبت نوفمبر 26, 2011 9:09 pm

ممكن نص متراجحة هولدر مع برهانها ؟؟

بواسطة **Ould Youbba** » السبت نوفمبر 26, 2011 10:48 pm

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته.

phiset كتب:ممكن نص متراجحة هولدر مع برهانها ؟؟

أمهلني بعض الوقت كي أرتب لك البرهان.
تحياتي.
SS:

بواسطة **sabaga** » الأحد نوفمبر 27, 2011 10:31 am

السلام عليكم

ليكن $p;q$ عددين حقيقين موجبين تماما بحيث $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ .و $x;y > 0$ عندئذ:

$xy \le \frac{{{x^p}}}{p} + \frac{{{y^q}}}{q}$

بواسطة **sabaga** » الأحد نوفمبر 27, 2011 10:36 am

البرهان: نستخدم كون التابع اللوغرتمي تابع محدَّب فيأتي على التو :

$\ln \left( {xy} \right) = \frac{1}{p}\ln \left( {{x^p}} \right) + \frac{1}{q}\ln \left( {{y^q}} \right) \le \ln \left( {\frac{{{x^p}}}{p} + \frac{{{y^q}}}{q}} \right)$

ويكفي بعدها المرور بالتابع الأسي

تذكير بتعريف التابع المحدَّب:

$\forall \left( {x;y} \right) \in {I^2};\forall \lambda \in \left[ {0;1} \right]:f\left( {\lambda x + \left( {1 - \lambda } \right)y} \right) \le \lambda f\left( x \right) + \left( {1 - \lambda } \right)f\left( y \right)$

بواسطة **sabaga** » الأحد نوفمبر 27, 2011 11:11 am

يمكننا اتباع الطريقة التالية:

نضع :

$f(x) = \frac{{{x^p}}}{p} + \frac{{{y^q}}}{q} - xy\;;x \ge 0$

في حالة $y = 0$ المتراجحة واضحة.
نفرض $y > 0$ ثابت.

التابع $f$ قابل للإشتقاق على المجال $\left[ {0; + \infty } \right[$ فنجد: $f'\left( x \right) = {x^{p - 1}} - y$

اذن التابع $f$ قيمة حدية صغرى عند ${x_0} = {y^{\frac{1}{{p - 1}}}}$ وقيمتها

$f\left( {{x_0}} \right) = {y^{\frac{p}{{p - 1}}}}\left( {\frac{1}{p} + \frac{1}{q} - 1} \right) = 0$

و في الأخير التابع $f$ موجب على المجال $\left[ {0; + \infty } \right[$ و هو يحقق:

$\forall x \ge 0;\forall y \ge 0:\frac{{{x^p}}}{p} + \frac{{{y^q}}}{q} \ge xy$

بواسطة **sabaga** » الأحد نوفمبر 27, 2011 11:31 am

المتراجحة التالية هي التي تعرف بمتراجحة هولدر

$\forall \left( {{{\left( {{a_n}} \right)}_{1 \le k \le n}};{{\left( {{b_n}} \right)}_{1 \le k \le n}}} \right) \in {\left( {{R^n}} \right)^2};\sum\limits_{k = 1}^n {\left| {{a_k}{b_k}} \right|} \le {\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left| {{a_k}} \right|}^p}} } \right)^{\frac{1}{p}}}{\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left| {{a_k}} \right|}^q}} } \right)^{\frac{1}{q}}}$

البرهان : نستند الى برهان المتراجحة المذكورة في المشاركة الأولى

منتدى الرياضيات رمز

طلب

طلب

Re: طلب

Re: طلب

Re: طلب

Re: طلب

Re: طلب

الموجودون الآن