منتدى الرياضيات رمز

السلام عليكم

أوجد كل الاعداد الصحيحة الموجبة التي تجعل المقدار التالي صحيح موجب

$\frac{{x^2 + y^2 + 1}}{{xy + 1}}$

السلام عليكم

كل ما استطعت إيجاده هو الثنائية : (0،k) و العكس

بواسطة **إباء** » الجمعة مارس 23, 2012 2:25 pm

وعليكم السلام

بفرض أن

$\begin{gathered} \frac{{x^2 + y^2 + 1}} {{xy + 1}} = m \hfill \\ \hfill \\ x^2 + y^2 + 1 = mxy + m \hfill \\ \hfill \\ y^2 - \left( {mx} \right)y + \left( {x^2 - m + 1} \right) = 0 \hfill \\ \hfill \\ y = \frac{{mx \pm \sqrt {\left( {mx} \right)^2 - 4\left( {x^2 - m + 1} \right)} }} {2} \hfill \\ \end{gathered}$

الآن تبقى دراسة الشرط كون y صحيحة موجبة

بوضع m=1 نجد مجموعة من الأزواج ${\left( {x,x \pm 1} \right)}$ مع وضع شرط على x لتكون الحلول صحيحة موجبة.

وقد تكون هناك حلول أخرى.

طالب الرياضيات كتب:السلام عليكم

كل ما استطعت إيجاده هو الثنائية : (0،k) و العكس

وعليكم السلام هلا أخي لاحظ ان الصفر ليس عدد موجب

إباء كتب:وعليكم السلام

بفرض أن

$\begin{gathered} \frac{{x^2 + y^2 + 1}} {{xy + 1}} = m \hfill \\ \hfill \\ x^2 + y^2 + 1 = mxy + m \hfill \\ \hfill \\ y^2 - \left( {mx} \right)y + \left( {x^2 - m + 1} \right) = 0 \hfill \\ \hfill \\ y = \frac{{mx \pm \sqrt {\left( {mx} \right)^2 - 4\left( {x^2 - m + 1} \right)} }} {2} \hfill \\ \end{gathered}$

الآن تبقى دراسة الشرط كون y صحيحة موجبة

بوضع m=1 نجد مجموعة من الأزواج ${\left( {x,x \pm 1} \right)}$ مع وضع شرط على x لتكون الحلول صحيحة موجبة.

وقد تكون هناك حلول أخرى.

هلا بالاستاذة القديرة طالت الغيبة ونورتي
بخصوص الاجابة يبقى السؤال هل توجد حلول اخرى ؟

بواسطة **siddigss** » الأحد إبريل 01, 2012 6:25 am

السلام عليكم أستاذ صديق الرياضيات

الحلول هي

إذا ابتدأنا بحل ابتدائي $({x_0},0)$

فيمكننا إيجاد الحلول بالعلاقة التالية $({x_n},{y_n}) = \left( {({x_0}^2 + 1){x_{n - 1}} - {y_{n - 1}},{x_{n - 1}}} \right)$

وفقكم الله

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته هلا بأخي الغالي صدّيق

لاحظ ان الصفر ليس حلا :-)

وفقكم الله وبارك فيكم

بواسطة **siddigss** » الأحد إبريل 01, 2012 5:47 pm

صديق الرياضيات كتب:وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته هلا بأخي الغالي صدّيق

لاحظ ان الصفر ليس حلا

وفقكم الله وبارك فيكم

كلام سليييم

ولكن يمكننا تعميم السؤال أكثر وحله في الأعداد غير السالبة مما سيسهل علينا حل السؤال

لنفرض أن

هما أصغر زوج يمثلان حلين موجبين لـ ${a^2} + {b^2} + 1 - mab - m = 0$

إذاً : كان a=b

${a^2} + 1|2{a^2} + 1 - 2({a^2} + 1) = - 1 \Leftrightarrow (a,b) = (0,0)$

إذاً : لاحلول موجبة عند a=b

لنفرض بدون إخلال بالعمومية أن a>b

لدينا المعادلة ${a^2} + {b^2} + 1 - mab - m = 0$

لأن المعادلة تربيعية فلها جذران

من علاقة فيتا للجذور نستطيع إيجاد جذر a' = bm - a

ملاخظ أن

يجب أن يكون غير سالب

سنفرض أنه سالب ونصل إلى $0 = a{'^2} + {b^2} + 1 - ma'b - m > a{'^2} + {b^2} + 1 + mb - m > 0$

وهذا تناقض

إذاً : $a' \geqslant 0$

الآن سوف نثبت أن : b>a'

$\begin{gathered} b > a' = mb - a \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow b + a > \frac{{b({a^2} + {b^2} + 1)}}{{ab + 1}} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {a^2}b + a{b^2} + a + b > {a^2}b + {b^3} + b \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow a{b^2} + a > {b^3} \hfill \\ \end{gathered}$

وما وصلنا إليه أخيراً صحيح لأن a>b

الآن : لنفرض أن

عدد موجب

إذاً : وصلنا إلى زوج مرتب آخر وأصغر من (a,b)

إذاً : لدينا (a,b) > (b,a')

وهذا يناقض كون (a,b)

أصغر حل موجب

إذاً : a'=0

وحيث أن m ثابتة لم تتغير فإن لدينا $a' = 0 \Leftrightarrow 0 = \frac{{{b^2} + 1 - m}}{a} \Leftrightarrow {b^2} + 1 = m$

في خطواتنا السابقة انتقلنا من حل إلى أصغر

الآن بنفس الطريقة سوف ننتقل من حل إلى أكبر بتطبيق نفس الخطوات ولكن لـ

وليس لـ

فنجد أن لدينا علاقة تربط الحلول ببعضها هي $({x_n},{y_n}) = (m{x_{n - 1}} - {y_{n - 1}},{x_{n - 1}})$

أما $m = {x_0}^2 + 1,{x_0} \in {\mathbb{Z}^ + }$

ومنه ابتدائاً من الزوج $({x_0},0)$ بحيث ${x_0} \in {\mathbb{Z}^ + }$

يمكننا توليد بقية الحلول من العلاقة

ويمكننا حل العلاقة الارتدادية

${x_n} = ({x_0}^2 + 1){x_{n - 1}} - {x_{n - 2}}$

لنوجد صيغة عامة للحلول

الآن كلما نعوض بقيمة لـ ${x_0}$ فإننا نحصل على عائلة حلول جديدة

بقي لنا أن ثبت أن هذه الحلول هي الحلول الوحيدة

لنفرض (x,y)

أول زوج يحقق المعادلة ولا ينتمي إلى أي من العوائل التي استنتجناها وليكن x>y

بنفس الطريقة نجد حلاً أصغر (x',y') = (y,my - x)

وهذا الحل يجب أن ينتمي إلى إحدى مجموعات الحلول السابقة لأنه لو لم يكن كذلك لناقض كون (x,y)

أول زوج لا ينتمي إلى تلك المجموعات

ولكن إذا استمررنا بالتناقص هكذا ونعلم أن الحلول دائما غير سالبة فإننا لا بد أن نصل إلى الصفر وفي هذه الحالة نصل إلى الزوج (r,0)

ولكن عنها إلى انطلقنا بالعكس نجد أن (x,y)

تنتمي إلى إحدى المجموعات وهو تناقض

إذاً : الحلول هي التي تحقق العلاقة الارتدادية التالية

حيث ${x_0} \in {\mathbb{Z}^ + }$

إن شاء الله صحيح

شكراً أستاذ صديق الرياضيات

وفقكم الله

رائع صدّيق
كيف حصلت على العلاقة الارتدادية ؟
هل يمكنك الوصول إلى صيغة نهائية للحل ؟أقصد x وy
المقدار لا يؤخذ قيمة موجبة غير قيمة وحيدة اتركها لك

أكرر شكري لك gg:

بواسطة **siddigss** » الاثنين إبريل 02, 2012 1:14 pm

أهلاً أستاذ صديق الرياضيات

بما أننا استنتجنا أن $m = {x_0}^2 + 1$

ولدينا المعادلة ${x_{n - 1}}^2 + {y_{n - 1}}^2 + 1 - m{x_{n - 1}}{y_{n - 1}} - m = 0$

لنفرض أن ${x_{n - 1}} > {y_{n - 1}}$

سنعتبر المعادلة كمعادلة تربيعية في Y وبالتالي لابد من وجود جذر آخر للمعادلة غير ${y_{n - 1}}$

ومن علاقة فيتا نعلم أن مجموع الجذور = معامل Y

إذاً : يوجد جذر آخر ${y_n}$ بحيث ${y_n-1}' = m{x_{n - 1}} - {y_{n - 1}}$

وسنثبت أن

$\begin{gathered} y{'_{n - 1}} > {x_{n - 1}} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {x^3}_{n - 1} > {x^2}_{n - 1}{y_{n - 1}} + {y_{n - 1}} \hfill \\ \hfill \\ \because x > y \Leftrightarrow x \geqslant y + 1 \hfill \\ \hfill \\ \therefore {x^3}_{n - 1} \geqslant {x^2}_{n - 1}{y_{n - 1}} + {x^2}_{n - 1} > {x^2}_{n - 1}{y_{n - 1}} + {y_{n - 1}} \hfill \\ \end{gathered}$

وبالتالي فنحن ولدنا زوجلاً جديداً وهو

$({x_n},{y_n}) = (m{x_{n - 1}} - {y_{n - 1}},{x_{n - 1}}) = (({x_0}^2 + 1){x_{n - 1}} - {y_{n - 1}},{x_{n - 1}})$

وهكذا نستطيع توليد بقية الحلول

----

نعم بالتأكيد يوجد

الصيغة هي
$\begin{gathered} {x_n} = \left( {2({x_0}^3 + {x_0}) - \beta \left( {{x_0}^2 + 1 - \sqrt {{x_0}^4 + 2{x_0}^2 - 3} } \right)} \right){\left( {{x_0}^2 + 1 + \sqrt {{x_0}^4 + 2{x_0}^2 - 3} } \right)^{n - 1}} \hfill \\ + \beta {\left( {{x_0}^2 + 1 - \sqrt {{x_0}^4 + 2{x_0}^2 - 3} } \right)^n} \hfill \\ \end{gathered}$

حيث

$\beta = \frac{{2{x_0} + ({x_0}^2 + 1){x_0}\sqrt {{x_0}^4 + 2{x_0}^2 - 3} - \left( {{x_0}^5 + 2{x_0}^3 + {x_0}} \right)}}{{({x_0}^2 + 1)\sqrt {{x_0}^4 + 2{x_0}^2 - 3} - \left( {{x_0}^4 + 2{x_0}^2 - 3} \right)}}$

أعتقد أنه من الممكن تبسيطها أكثر :twisted:

لأي قيمة اختيارية لـ ${x_0}$ سنجد متسلسلة تحقق المطلوب حيث ${y_n} = {x_{n - 1}}$

------

أستاذي صديق الرياضيات

ماذا قصدت بقولك : المقدار له قيمة وحيدة موجبة هل تعني m له قيمة وحيدة ؟؟

لأنه من علاقتنا الارتدادية يمكننا اختيار ${x_0} = 2$

سنجد مجموعة الحلول $(2,0) \to (10,2) \to (48,10) \to (230,48) \to .....$

ولو عوضنا ${x_0} = 1$ سنصل إلى حلول الأستاذة إباء

أرجو أن يكون صحيحاً

وفقكم الله

حفظك المولى ياصديق
يظهر لي صحة ما توصلت له gg:

siddigss كتب:ماذا قصدت بقولك : المقدار له قيمة وحيدة موجبة هل تعني m له قيمة وحيدة ؟؟

كنت ظننت هذا ولكن ظهر ان ظني غير صحيح شكرا hello:

منتدى الرياضيات رمز

أوجد القيم الصحيحة الموجبة

أوجد القيم الصحيحة الموجبة

Re: أوجد القيم الصحيحة الموجبة

Re: أوجد القيم الصحيحة الموجبة

Re: أوجد القيم الصحيحة الموجبة

Re: أوجد القيم الصحيحة الموجبة

Re: أوجد القيم الصحيحة الموجبة

Re: أوجد القيم الصحيحة الموجبة

Re: أوجد القيم الصحيحة الموجبة

Re: أوجد القيم الصحيحة الموجبة

Re: أوجد القيم الصحيحة الموجبة

الموجودون الآن