منتدى الرياضيات رمز

بواسطة **siddigss** » الاثنين إبريل 09, 2012 3:19 pm

محاولة

$\begin{gathered} {\text{Assume that there is a prime number p|gcd}}\left( {{{(n + 1)}^m} - n,{{(n + 1)}^{m + 3}} - n} \right) \hfill \\ \Rightarrow p\not |(n + 1),n \hfill \\ \therefore \hfill \\ {(n + 1)^{m + 3}} \equiv n[p] \to (1) \hfill \\ {(n + 1)^m} \equiv n[p] \to (2) \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow {(n + 1)^3} \equiv 1[p] \to (3) \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow n({n^2} + 3n + 3) \equiv 0[p] \Leftrightarrow {n^2} + 3n + 3 \equiv 0[p] \to (4) \hfill \\ \hfill \\ (1) + (2): \hfill \\ \end{gathered}$

$\begin{gathered} {(n + 1)^m}(n + 2)\left( {{n^2} + n + 1} \right) \equiv 2n[p] \to (5) \hfill \\ \hfill \\ If:m \equiv 1[3],then{\text{ }}From(3){\text{ : }}{(n + 1)^m} \equiv n + 1[p] \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow {(n + 1)^m}(n + 2)\left( {{n^2} + n + 1} \right) \equiv ({n^2} + 3n + 2)({n^2} + n + 1) \hfill \\ \equiv ( - 1)({n^2} + n + 1) \equiv 2n[p] \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {n^2} + 3n + 1 \equiv 0[p] \hfill \\ \hfill \\ From(4):{n^2} + 3n + 3 \equiv 0[p] \hfill \\ \hfill \\ \therefore ({n^2} + 3n + 3) - ({n^2} + 3n + 1) = 2 \equiv 0[p] \Leftrightarrow p = 2 \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow {(n + 1)^m} - n{\text{ is even}} \to Contradiction!! \hfill \\ \end{gathered}$
$\begin{gathered} If:m \equiv 2[3] \hfill \\ \hfill \\ From(5): \hfill \\ \hfill \\ (n + 1)(n + 2)(n + 2)({n^2} + n + 1) \equiv ( - 1)({n^3} + 2{n^2} + 2n + 1) \equiv 2n[p] \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {n^3} + 2{n^2} + 4n + 1 \equiv 0[p] \hfill \\ \hfill \\ From(4):n({n^2} + 3n + 3) = {n^3} + 3{n^2} + 3n \equiv 0[p] \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow {n^2} - n - 1 \equiv 0 \equiv {n^2} + 3n + 3[p] \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow n \equiv - 1[p] \Leftrightarrow n + 1 \equiv 0[p] \Leftrightarrow n \equiv 0[p] \to Contradiction \hfill \\ \hfill \\ \therefore m \equiv 0[3] \hfill \\ \hfill \\ \therefore 2n \equiv (n + 2){(n + 1)^m}({n^2} + n + 1) \equiv {n^3} + 3{n^2} + 3n + 2 \equiv 2[p] \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow n \equiv 1[p] \hfill \\ \hfill \\ \therefore {(n + 1)^3} - 1 \equiv 7 \equiv 0[p] \Leftrightarrow p = 7 \hfill \\ \hfill \\ \therefore (m,n) \in \left\{ {(3k,7r + 1),(3k,1)} \right\}{\text{ }}\forall {\text{k,r}} \in {\mathbb{Z}^ + } \hfill \\ \end{gathered}$

ماشاء الله عليك صديق الله يوفقك
بخصوص الحل مارايك عندما n=1 و m=3 اليس هذا يحقق المتراجحة ؟

بواسطة **siddigss** » الاثنين إبريل 09, 2012 3:43 pm

نعم كلامك سليم كان وذلك لأن 1 يطابق 1 مود 7

وبالتالي r تنتمي إلى الأعداد غير السالبة

شكراًُ على التنبيه

راااائع صديق gg:

أخي صديق ما رايك لو عبرنا بالشكل التالي

$\left( {m,n} \right) = \left( {3k,7r - 6} \right),k,r \in Z^ +$

السؤال السادس : أثبت أنه يمكن التعبير عن اي عدد صحيح أكبر من 17 كمجموع ثلاثة اعداد صحيحة أكبر من 1 بحيث كل زوج اولي نسبي . ثم هل العدد 17 يحقق هذه االخاصية .

السلام عليكم أستاذي صديق الرياضيات ،

سلسلة رائعة

وجدت أن 17 لا يحقق الخاصية المذكورة ، لكني لم أستطع إثباتها لما فوق 17 ، سأحاول أكثر ، وشكرا جزيلا

$(2k-1,2k+1,2)\Rightarrow 4k+2.......k\geqslant 2$
$(2k-1,2k+3,2)\Rightarrow 4k+4.......k\geqslant 2$
$(6k+1,2k+1,4k+1)\Rightarrow 12k+3.......k\geqslant 1$
$(6k+5,2k+1,4k+3)\Rightarrow 12k+9.......k\geqslant 1$
$(6k+2,6k-1,4)\Rightarrow 12k+5.......k\geqslant 1$
$(6k-2,6k+1,8)\Rightarrow 12k+7.......k\geqslant 1$
$(6k+7,6k+1,3)\Rightarrow 12k+11.......k\geqslant 1$
$(6k-7,6k-1,9)\Rightarrow 12k+1.......k\geqslant 2$

does this work ..??

ممتاز اليزيد gg:

نص مخفي:

السؤال السابع : أثبت انه لأي عدد صحيح $1 < a \le 100$

يوجد على الأقل عدد صحيحة موجب $n \le 6$ يحقق أن $a^{2^n } + 1$

يكون مؤلف

السلام عليكم ورحمة الله تعالى وبركاته

أهلا أستاذي "صديق الرياضيات" ، دائما تبهرني أسئلتك على أساس أني مبتدئ في الرياضيات فأنا لم أتمكن من حل معظم المسائل في هذا المنتدى :em