إحد إثبات في دالة جاما

Advanced Calculus & Differential Equations
Calcul Avancé et Equations Differentilles

متسلسلات القوى، التفاضل والتكامل في عدة متغيرات ، المعادلات التفاضلية ، تحويلات لابلاس وفورييه ..

المشرفون: ابو مؤيد, المراقبون

إحد إثبات في دالة جاما

مشاركةبواسطة عبدالله عبادي » الأحد أكتوبر 30, 2011 9:19 pm

إثبت إن
\Gamma \left( x \right)\Gamma \left( {1 - x} \right) = \frac{\pi }{{\sin \left( {\pi x} \right)}}
نص مخفي:
صورة
صورة العضو الشخصية
عبدالله عبادي
عضو فـعّـال
عضو فـعّـال
 
مشاركات: 783
اشترك في: الجمعة أكتوبر 28, 2011 6:44 pm
تلقى الشكر: 16 مرة

Re: إحد إثبات في دالة جاما

مشاركةبواسطة sabaga » الاثنين أكتوبر 31, 2011 7:48 pm

السلام عليكم

هذه محاولة لي
\[\begin{array}{l}
\Gamma \left( n \right)\Gamma \left( {1 - n} \right) = \left( {2\int\limits_0^\infty  {{x^{2n - 1}}{e^{ - {x^2}}}dx} } \right)\left( {2\int\limits_0^\infty  {{t^{1 - 2n}}{e^{ - {t^2}}}dt} } \right)\\
\Gamma \left( n \right)\Gamma \left( {1 - n} \right) = 4\int\limits_0^\infty  {\int\limits_0^\infty  {{x^{2n - 1}}} } {t^{1 - 2n}}{e^{ - \left( {{x^2} + {t^2}} \right)}}dxdt
\end{array}\]


ثم باستخدام الاحداثيات القطبية
\[\begin{array}{l}
\left( {r;\theta } \right)\\
x = r\cos \theta ;t = r\sin \theta 
\end{array}\]


نجد :
\[\Gamma \left( n \right)\Gamma \left( {1 - n} \right) = 4\int\limits_{\theta  = 0}^{\frac{\pi }{2}} {\int\limits_{r = 0}^\infty  {r{e^{ - {r^2}}}} } \left( {{{\tan }^{1 - 2n}}\theta } \right)drd\theta \]



فيأتي على الفور
\[\Gamma \left( n \right)\Gamma \left( {1 - n} \right) = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {{{\tan }^{1 - 2n}}\theta } \right)} d\theta  = \frac{\pi }{{\sin n\pi }}\]
ان ضاق عليك رزق اليوم فاصبر الى غد عسى نكبات الدهر عنك تزول

صورة
صورة العضو الشخصية
sabaga
عضو فـعّـال
عضو فـعّـال
 
مشاركات: 1492
اشترك في: الأربعاء يونيو 25, 2008 1:54 pm
تلقى الشكر: 97 مرة

Re: إحد إثبات في دالة جاما

مشاركةبواسطة uniquesailor » السبت نوفمبر 05, 2011 12:47 am

أخي الكريم sabaga ممكن توضح كيف استنتجت فوراً آخر سطر في حلك؟
صورة
صورة العضو الشخصية
uniquesailor
عضو فـعّـال
عضو فـعّـال
 
مشاركات: 323
اشترك في: الخميس يوليو 03, 2008 5:20 pm
تلقى الشكر: 33 مرة

Re: إحد إثبات في دالة جاما

مشاركةبواسطة sabaga » السبت نوفمبر 05, 2011 7:38 am

السلام عليكم

لابأس هذه محاولة
اثبت أنَّ
\[\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{{x^{p - 1}}}}{{1 + x}}} dx = \frac{\pi }{{\sin px}};0 < p < 1\]


ثمَّ ضع :
\[x = {\tan ^2}\theta \]
مع
\[p = 1 - n\]
ان ضاق عليك رزق اليوم فاصبر الى غد عسى نكبات الدهر عنك تزول

صورة
صورة العضو الشخصية
sabaga
عضو فـعّـال
عضو فـعّـال
 
مشاركات: 1492
اشترك في: الأربعاء يونيو 25, 2008 1:54 pm
تلقى الشكر: 97 مرة

Re: إحد إثبات في دالة جاما

مشاركةبواسطة uniquesailor » السبت نوفمبر 05, 2011 11:14 am

العلاقة هذه على حد علمي لا يمكن إثباتها إلا باستخدام التحليل المركب (التكامل الكنتوري)
صورة
صورة العضو الشخصية
uniquesailor
عضو فـعّـال
عضو فـعّـال
 
مشاركات: 323
اشترك في: الخميس يوليو 03, 2008 5:20 pm
تلقى الشكر: 33 مرة

Re: إحد إثبات في دالة جاما

مشاركةبواسطة عبدالله عبادي » السبت نوفمبر 05, 2011 4:42 pm

أول مرة أسمع بإسم هذا تكامل فلو سمحت تشرحي لي
نص مخفي:
صورة
صورة العضو الشخصية
عبدالله عبادي
عضو فـعّـال
عضو فـعّـال
 
مشاركات: 783
اشترك في: الجمعة أكتوبر 28, 2011 6:44 pm
تلقى الشكر: 16 مرة

Re: إحد إثبات في دالة جاما

مشاركةبواسطة uniquesailor » السبت نوفمبر 05, 2011 8:09 pm

اقرأ كتب التحليل المركب complex analysis
صورة
صورة العضو الشخصية
uniquesailor
عضو فـعّـال
عضو فـعّـال
 
مشاركات: 323
اشترك في: الخميس يوليو 03, 2008 5:20 pm
تلقى الشكر: 33 مرة

Re: إحد إثبات في دالة جاما

مشاركةبواسطة sabaga » الاثنين نوفمبر 07, 2011 10:01 am

بحثت عن هذا الموضوع بكل جدية و و جدت حل هذا التكامل كما نوَّه الأستاذ القدير uniquesailor في كتاب التحليل المركب لكن الحل طويل نوعا ما.
صورة
ان ضاق عليك رزق اليوم فاصبر الى غد عسى نكبات الدهر عنك تزول

صورة
صورة العضو الشخصية
sabaga
عضو فـعّـال
عضو فـعّـال
 
مشاركات: 1492
اشترك في: الأربعاء يونيو 25, 2008 1:54 pm
تلقى الشكر: 97 مرة

Re: إحد إثبات في دالة جاما

مشاركةبواسطة sabaga » الاثنين نوفمبر 07, 2011 10:26 am

هذا رابط مباشر للصورة


http://im17.gulfup.com/2011-11-07/1320650561711.bmp
ان ضاق عليك رزق اليوم فاصبر الى غد عسى نكبات الدهر عنك تزول

صورة
صورة العضو الشخصية
sabaga
عضو فـعّـال
عضو فـعّـال
 
مشاركات: 1492
اشترك في: الأربعاء يونيو 25, 2008 1:54 pm
تلقى الشكر: 97 مرة

Re: إحد إثبات في دالة جاما

مشاركةبواسطة sabaga » الاثنين نوفمبر 07, 2011 12:52 pm

صورة
صورة
صورة
ان ضاق عليك رزق اليوم فاصبر الى غد عسى نكبات الدهر عنك تزول

صورة

تم تقديم الشكر لـ sabaga على هذه المشاركة من قبل :
عبدالله عبادي
صورة العضو الشخصية
sabaga
عضو فـعّـال
عضو فـعّـال
 
مشاركات: 1492
اشترك في: الأربعاء يونيو 25, 2008 1:54 pm
تلقى الشكر: 97 مرة

التالي

العودة إلى التفاضل والتكامل المتقدم والمعادلات التفاضلية

الموجودون الآن

المستخدمون المتصفحون لهذا المنتدى: لا يوجد أعضاء مسجلين متصلين و 1 زائر