منتدى الرياضيات رمز

بواسطة **sabaga** » الأربعاء مايو 09, 2012 10:44 pm

يمكنك استخدام البرهان بالتراجع

الخاصية محققة من أجل

$n = 1 \Rightarrow \int\limits_0^{ + \infty } {xe^{ - x} dx = - \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {xe^{ - x} } \right]} + \int\limits_0^{ + \infty } {e^{ - x} dx} = 1$

نفرض صحة الخاصية حتى الرتبة $n$ و نبرهن صحتها من أجل الرتبة $n+1$

أي:الفرضية صحيحة

$\int\limits_0^{ + \infty } {x^n e^{ - x} dx = } n\left( {n - 1} \right) \times ... \times 2 \times 1$

ونبرهن أنَّ:

$\int\limits_0^{ + \infty } {x^{n + 1} e^{ - x} dx = } \left( {n + 1} \right) \times n \times \left( {n - 1} \right) \times ... \times 2 \times 1$

نستخدم التكامل بالتجزئة

${\int\limits_0^{ + \infty } {x^{n + 1} e^{ - x} dx = } - \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x^{n + 1} e^{ - x} } \right) + \left( {n + 1} \right)\int\limits_0^{ + \infty } {x^n e^{ - x} dx} }$

و بالتعويض(استخدام الفرض) يأتي على التو

$\int\limits_0^{ + \infty } {x^{n + 1} e^{ - x} dx = - \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x^{n + 1} e^{ - x} } \right) + } \left( {n + 1} \right) \times n \times \left( {n - 1} \right) \times ... \times 2 \times 1$

مع مرعاة الحقيقة

${\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x^{n + 1} e^{ - x} } \right) = 0}$

هذا يعني أن الخاصية محققة من أجل $n+1$ ومنه الخاصية محققة من أجل كل عدد طبيعي $n$

منتدى الرياضيات رمز

تكامل

تكامل

Re: تكامل

الموجودون الآن