حول دالة سابق لى متسلسة فوربير حيث
منتدى الرياضيات رمز
أول منتدى عربي قدم الرياضيات بأكواد الليتك لنقاش علمي في الجبر , الهندسة , التحليل , نظرية الأعداد
متسلسة فوربير
6 مشاركة
• صفحة 1 من 1
متسلسة فوربير
بواسطة عبدالله عبادي » الثلاثاء مايو 08, 2012 9:59 pm
حول دالة سابق لى متسلسة فوربير حيث
نص مخفي:
-
عبدالله عبادي - عضو فـعّـال
- مشاركات: 734
- اشترك في: الجمعة أكتوبر 28, 2011 6:44 pm
- تلقى الشكر: 12 مرة
Re: متسلسة فوربير
بواسطة sabaga » الأربعاء مايو 09, 2012 8:04 am
![\[
a_0 = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {f\left( t \right)dt = } \frac{1}{{2\pi }}\left[ {e^t } \right]_{ - \pi }^{ + \pi } = \frac{{sh\pi }}{\pi }
\]](/xyz/latexrender/pictures/507c72b77ecfe775821eaf82591651a4.png "\[
a_0 = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {f\left( t \right)dt = } \frac{1}{{2\pi }}\left[ {e^t } \right]_{ - \pi }^{ + \pi } = \frac{{sh\pi }}{\pi }
\]")
![\[
a_n = \frac{1}{\pi }\int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {f\left( t \right)\cos ntdt = } \frac{1}{\pi }\int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {e^t \cos ntdt}
\]](/xyz/latexrender/pictures/ce13050203abb0cfa59c5a2eb36841b9.png "\[
a_n = \frac{1}{\pi }\int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {f\left( t \right)\cos ntdt = } \frac{1}{\pi }\int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {e^t \cos ntdt}
\]")
![\[
\Rightarrow a_n = \frac{1}{{n\pi }}\left[ {e^t \sin nt} \right]_{ - \pi }^{ + \pi } - \frac{1}{{n\pi }}\int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {e^t \sin ntdt}
\]](/xyz/latexrender/pictures/81ee3f4e3507d9602e55ff8b006a6b2c.png "\[
\Rightarrow a_n = \frac{1}{{n\pi }}\left[ {e^t \sin nt} \right]_{ - \pi }^{ + \pi } - \frac{1}{{n\pi }}\int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {e^t \sin ntdt}
\]")
![\[
\Rightarrow a_n = \frac{1}{{n^2 \pi }}\left[ {e^t cosnt} \right]_{ - \pi }^{ + \pi } - \frac{1}{{n^2 \pi }}\int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {e^t cosntdt}
\]](/xyz/latexrender/pictures/b5d4cff87a1349f33090f30848a022bf.png "\[
\Rightarrow a_n = \frac{1}{{n^2 \pi }}\left[ {e^t cosnt} \right]_{ - \pi }^{ + \pi } - \frac{1}{{n^2 \pi }}\int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {e^t cosntdt}
\]")
![\[
\Rightarrow \left( {1 - \frac{1}{{n^2 }}} \right)a_n = \frac{1}{{n^2 \pi }}\left[ {e^\pi cos\left( {n\pi } \right) - e^{ - \pi } cos\left( { - n\pi } \right)} \right]
\]](/xyz/latexrender/pictures/9ed733a4bc54cc987db9eb270302a1ec.png "\[
\Rightarrow \left( {1 - \frac{1}{{n^2 }}} \right)a_n = \frac{1}{{n^2 \pi }}\left[ {e^\pi cos\left( {n\pi } \right) - e^{ - \pi } cos\left( { - n\pi } \right)} \right]
\]")
![\[
\Rightarrow a_n = \frac{{\frac{{\left( { - 1} \right)^n }}{{n^2 \pi }}\left[ {e^\pi - e^{ - \pi } } \right]}}{{\left( {1 - \frac{1}{{n^2 }}} \right)}} = \frac{{2\left( { - 1} \right)^n sh\pi }}{{\pi \left( {n^2 - 1} \right)}}
\]](/xyz/latexrender/pictures/b2590833235ffefe861a0ca420a0823e.png "\[
\Rightarrow a_n = \frac{{\frac{{\left( { - 1} \right)^n }}{{n^2 \pi }}\left[ {e^\pi - e^{ - \pi } } \right]}}{{\left( {1 - \frac{1}{{n^2 }}} \right)}} = \frac{{2\left( { - 1} \right)^n sh\pi }}{{\pi \left( {n^2 - 1} \right)}}
\]")
ان ضاق عليك رزق اليوم فاصبر الى غد عسى نكبات الدهر عنك تزول
-
sabaga - عضو فـعّـال
- مشاركات: 1143
- اشترك في: الأربعاء يونيو 25, 2008 1:54 pm
- تلقى الشكر: 55 مرة
Re: متسلسة فوربير
بواسطة sabaga » الأربعاء مايو 09, 2012 8:29 am
![\[
b_n = \frac{1}{\pi }\int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {f\left( t \right)\sin ntdt = } \frac{1}{\pi }\int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {e^t \sin ntdt}
\]](/xyz/latexrender/pictures/568a6ea68c52483e8cd838817678dd46.png "\[
b_n = \frac{1}{\pi }\int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {f\left( t \right)\sin ntdt = } \frac{1}{\pi }\int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {e^t \sin ntdt}
\]")
![\[
\Rightarrow b_n = - \frac{1}{{n\pi }}\left[ {e^t cosnt} \right]_{ - \pi }^{ + \pi } + \frac{1}{{n\pi }}\int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {e^t cosntdt}
\]](/xyz/latexrender/pictures/39ec63b11bc1131681a249b1219f708d.png "\[
\Rightarrow b_n = - \frac{1}{{n\pi }}\left[ {e^t cosnt} \right]_{ - \pi }^{ + \pi } + \frac{1}{{n\pi }}\int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {e^t cosntdt}
\]")
![\[
\Rightarrow b_n = - \frac{1}{{n\pi }}\left[ {e^\pi cos\left( {n\pi } \right) - e^{ - \pi } cos\left( { - n\pi } \right)} \right] - \frac{1}{{n^2 \pi }}\int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {e^t \sin ntdt}
\]](/xyz/latexrender/pictures/6ac321a1f357a5e0b37e798ab810d348.png "\[
\Rightarrow b_n = - \frac{1}{{n\pi }}\left[ {e^\pi cos\left( {n\pi } \right) - e^{ - \pi } cos\left( { - n\pi } \right)} \right] - \frac{1}{{n^2 \pi }}\int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {e^t \sin ntdt}
\]")
![\[
\Rightarrow \left( {1 + \frac{1}{{n^2 }}} \right)b_n = \frac{1}{{n \pi }}\left[ {e^\pi cos\left( {n\pi } \right) - e^{ - \pi } cos\left( { - n\pi } \right)} \right]
\]](/xyz/latexrender/pictures/b9748c251e12f87e7c8a4b62633c563a.png "\[
\Rightarrow \left( {1 + \frac{1}{{n^2 }}} \right)b_n = \frac{1}{{n \pi }}\left[ {e^\pi cos\left( {n\pi } \right) - e^{ - \pi } cos\left( { - n\pi } \right)} \right]
\]")
![\[
b_n = \frac{{2\left( { - 1} \right)^{n + 1} n \times sh\pi }}{{\pi \left( {n^2 + 1} \right)}}
\]](/xyz/latexrender/pictures/15ac299899fa1554cc7ec7b64cfa1e08.png "\[
b_n = \frac{{2\left( { - 1} \right)^{n + 1} n \times sh\pi }}{{\pi \left( {n^2 + 1} \right)}}
\]")
آخر تعديل بواسطة sabaga في الأربعاء مايو 09, 2012 11:04 pm، عدل 4 مرات
ان ضاق عليك رزق اليوم فاصبر الى غد عسى نكبات الدهر عنك تزول
-
sabaga - عضو فـعّـال
- مشاركات: 1143
- اشترك في: الأربعاء يونيو 25, 2008 1:54 pm
- تلقى الشكر: 55 مرة
Re: متسلسة فوربير
بواسطة sabaga » الأربعاء مايو 09, 2012 8:40 am
![\[
f\left( t \right) = a_0 + \sum\limits_{n = 2}^\infty {a_n \cos nt + } \sum\limits_{n = 2}^\infty {b_n \sin nt}
\]](/xyz/latexrender/pictures/75be0d9941d7b5d0a6204e42acedd1c2.png "\[
f\left( t \right) = a_0 + \sum\limits_{n = 2}^\infty {a_n \cos nt + } \sum\limits_{n = 2}^\infty {b_n \sin nt}
\]")
![\[
- \pi \le t \le \pi
\]](/xyz/latexrender/pictures/2a0692c782bbb26cc85d67c641a207f7.png "\[
- \pi \le t \le \pi
\]")
![\[
e^t = \frac{{sh\pi }}{\pi }\left( {1 + 2\sum\limits_{n = 2}^{ + \infty } {\frac{{\left( { - 1} \right)^n \cos nt}}{{n^2 - 1}}} + 2\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{\left( { - 1} \right)^{n + 1} n \times \sin nt}}{{n^2 + 1}}} } \right)
\]](/xyz/latexrender/pictures/9d02d41e1bcce78a6a038c6c2a8a6241.png "\[
e^t = \frac{{sh\pi }}{\pi }\left( {1 + 2\sum\limits_{n = 2}^{ + \infty } {\frac{{\left( { - 1} \right)^n \cos nt}}{{n^2 - 1}}} + 2\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{\left( { - 1} \right)^{n + 1} n \times \sin nt}}{{n^2 + 1}}} } \right)
\]")
آخر تعديل بواسطة sabaga في الأربعاء مايو 09, 2012 11:07 pm، عدل 3 مرات
ان ضاق عليك رزق اليوم فاصبر الى غد عسى نكبات الدهر عنك تزول
- تم تقديم الشكر لـ sabaga على هذه المشاركة من قبل :
- عبدالله عبادي
-
sabaga - عضو فـعّـال
- مشاركات: 1143
- اشترك في: الأربعاء يونيو 25, 2008 1:54 pm
- تلقى الشكر: 55 مرة
Re: متسلسة فوربير
بواسطة عبدالله عبادي » الأربعاء مايو 09, 2012 5:08 pm
مشكور
2-
حيث أن
L و aعددان ثابت
حول الدالة السابقة إلى متسلسة فوربير
2-
حيث أن
L و aعددان ثابت
حول الدالة السابقة إلى متسلسة فوربير
نص مخفي:
-
عبدالله عبادي - عضو فـعّـال
- مشاركات: 734
- اشترك في: الجمعة أكتوبر 28, 2011 6:44 pm
- تلقى الشكر: 12 مرة
![\begin{array}{l}
b = \frac{{aL}}{\pi } \\
f\left( {\frac{{by}}{a}} \right) = e^{by} , - \pi < y < \pi \\
a_n = \frac{1}{\pi }\int_{ - \pi }^\pi {e^{by} \cos \left( {ny} \right)} .dy \\
= \frac{1}{\pi }\left[ {\frac{{e^{by} }}{{b^2 + n^2 }}\left[ {b\cos \left( {ny} \right) + n\sin \left( {ny} \right)} \right]} \right]_{ - \pi }^\pi \\
= \frac{1}{\pi }\left[ {\frac{{e^{b\pi } \left[ {b\cos \left( {n\pi } \right) + n\sin \left( {n\pi } \right)} \right] - e^{ - b\pi } \left[ {b\cos \left( {n\pi } \right) - n\sin \left( {n\pi } \right)} \right]}}{{b^2 + n^2 }}} \right] \\
a_n = \frac{1}{\pi }\left[ {\frac{{2b\left( { - 1} \right)^n \sinh \left( {b\pi } \right)}}{{b^2 + n^2 }}} \right] \\
\end{array}](/xyz/latexrender/pictures/e2b0112b719f035310b6f9b6eb30417f.png "\begin{array}{l}
b = \frac{{aL}}{\pi } \\
f\left( {\frac{{by}}{a}} \right) = e^{by} , - \pi < y < \pi \\
a_n = \frac{1}{\pi }\int_{ - \pi }^\pi {e^{by} \cos \left( {ny} \right)} .dy \\
= \frac{1}{\pi }\left[ {\frac{{e^{by} }}{{b^2 + n^2 }}\left[ {b\cos \left( {ny} \right) + n\sin \left( {ny} \right)} \right]} \right]_{ - \pi }^\pi \\
= \frac{1}{\pi }\left[ {\frac{{e^{b\pi } \left[ {b\cos \left( {n\pi } \right) + n\sin \left( {n\pi } \right)} \right] - e^{ - b\pi } \left[ {b\cos \left( {n\pi } \right) - n\sin \left( {n\pi } \right)} \right]}}{{b^2 + n^2 }}} \right] \\
a_n = \frac{1}{\pi }\left[ {\frac{{2b\left( { - 1} \right)^n \sinh \left( {b\pi } \right)}}{{b^2 + n^2 }}} \right] \\
\end{array}")
![\begin{array}{l}
a_0 = \frac{2}{\pi }\left[ {\frac{{\sinh \left( {b\pi } \right)}}{b}} \right] \\
b_n = \frac{1}{\pi }\int_{ - \pi }^\pi {e^{by} \sin \left( {ny} \right).dy} \\
= \frac{1}{\pi }\left[ {\frac{{e^{by} }}{{b^2 + n^2 }}\left[ {b\sin \left( {ny} \right) - n\cos \left( {ny} \right)} \right]} \right]_{ - \pi }^\pi \\
= \frac{1}{\pi }\left[ {\frac{{e^{b\pi } \left[ {b\sin \left( {n\pi } \right) - n\cos \left( {n\pi } \right)} \right] - e^{ - b\pi } \left[ { - b\sin \left( {n\pi } \right) - n\cos \left( {n\pi } \right)} \right]}}{{b^2 + n^2 }}} \right] \\
= \frac{1}{\pi }\left[ {\frac{{2n\left( { - 1} \right)^{n + 1} \sinh \left( {b\pi } \right)}}{{b^2 + n^2 }}} \right] \\
f\left( {\frac{b}{a}y} \right) = \frac{{\sinh \left( {b\pi } \right)}}{{\pi b}} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left[ {\frac{1}{\pi }\left[ {\frac{{2b\left( { - 1} \right)^n \sinh \left( {b\pi } \right)}}{{b^2 + n^2 }}} \right]} \right]} \cos \left( {ny} \right) + \frac{1}{\pi }\left[ {\frac{{2n\left( { - 1} \right)^{n + 1} \sinh \left( {b\pi } \right)}}{{b^2 + n^2 }}} \right]\sin \left( {ny} \right) \\
\end{array}](/xyz/latexrender/pictures/ca1664eb786b1ab8ddd30824533f8851.png "\begin{array}{l}
a_0 = \frac{2}{\pi }\left[ {\frac{{\sinh \left( {b\pi } \right)}}{b}} \right] \\
b_n = \frac{1}{\pi }\int_{ - \pi }^\pi {e^{by} \sin \left( {ny} \right).dy} \\
= \frac{1}{\pi }\left[ {\frac{{e^{by} }}{{b^2 + n^2 }}\left[ {b\sin \left( {ny} \right) - n\cos \left( {ny} \right)} \right]} \right]_{ - \pi }^\pi \\
= \frac{1}{\pi }\left[ {\frac{{e^{b\pi } \left[ {b\sin \left( {n\pi } \right) - n\cos \left( {n\pi } \right)} \right] - e^{ - b\pi } \left[ { - b\sin \left( {n\pi } \right) - n\cos \left( {n\pi } \right)} \right]}}{{b^2 + n^2 }}} \right] \\
= \frac{1}{\pi }\left[ {\frac{{2n\left( { - 1} \right)^{n + 1} \sinh \left( {b\pi } \right)}}{{b^2 + n^2 }}} \right] \\
f\left( {\frac{b}{a}y} \right) = \frac{{\sinh \left( {b\pi } \right)}}{{\pi b}} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left[ {\frac{1}{\pi }\left[ {\frac{{2b\left( { - 1} \right)^n \sinh \left( {b\pi } \right)}}{{b^2 + n^2 }}} \right]} \right]} \cos \left( {ny} \right) + \frac{1}{\pi }\left[ {\frac{{2n\left( { - 1} \right)^{n + 1} \sinh \left( {b\pi } \right)}}{{b^2 + n^2 }}} \right]\sin \left( {ny} \right) \\
\end{array}")
![\begin{array}{l}
b = \frac{{aL}}{\pi } \\
f\left( {\frac{{Ly}}{\pi }} \right) = \frac{{\sinh \left( {aL} \right)}}{{aL}} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{\pi }\left[ {\frac{{\frac{{2aL}}{\pi }\left( { - 1} \right)^n \sinh \left( {aL} \right)}}{{\frac{{\left( {aL} \right)^2 + \left( {n\pi } \right)^2 }}{{\pi ^2 }}}}} \right]} \cos \left( {ny} \right) + \frac{1}{\pi }\left[ {\frac{{2n\left( { - 1} \right)^{n + 1} \sinh \left( {aL} \right)}}{{\frac{{\left( {aL} \right)^2 + \left( {n\pi } \right)^2 }}{{\pi ^2 }}}}} \right]\sin \left( {ny} \right) \\
f\left( {\frac{{Ly}}{\pi }} \right) = \frac{{\sinh \left( {aL} \right)}}{{aL}} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{2aL\left( { - 1} \right)^n \sinh \left( {aL} \right)}}{{\left( {aL} \right)^2 + \left( {n\pi } \right)^2 }}} \cos \left( {ny} \right) + \pi \left[ {\frac{{2n\left( { - 1} \right)^{n + 1} \sinh \left( {aL} \right)}}{{\left( {aL} \right)^2 + \left( {n\pi } \right)^2 }}} \right]\sin \left( {ny} \right) \\
y = \frac{{x\pi }}{L} \\
f\left( x \right) = \frac{{\sinh \left( {aL} \right)}}{{aL}} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{2aL\left( { - 1} \right)^n \sinh \left( {aL} \right)}}{{\left( {aL} \right)^2 + \left( {n\pi } \right)^2 }}\cos \left( {\frac{{nx\pi }}{L}} \right) + \pi \left[ {\frac{{2n\left( { - 1} \right)^{n + 1} \sinh \left( {aL} \right)}}{{\left( {aL} \right)^2 + \left( {n\pi } \right)^2 }}} \right]\sin \left( {\frac{{nx\pi }}{L}} \right)} \\
\end{array}](/xyz/latexrender/pictures/41acb87ac693961a658442f75f2aa247.png "\begin{array}{l}
b = \frac{{aL}}{\pi } \\
f\left( {\frac{{Ly}}{\pi }} \right) = \frac{{\sinh \left( {aL} \right)}}{{aL}} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{\pi }\left[ {\frac{{\frac{{2aL}}{\pi }\left( { - 1} \right)^n \sinh \left( {aL} \right)}}{{\frac{{\left( {aL} \right)^2 + \left( {n\pi } \right)^2 }}{{\pi ^2 }}}}} \right]} \cos \left( {ny} \right) + \frac{1}{\pi }\left[ {\frac{{2n\left( { - 1} \right)^{n + 1} \sinh \left( {aL} \right)}}{{\frac{{\left( {aL} \right)^2 + \left( {n\pi } \right)^2 }}{{\pi ^2 }}}}} \right]\sin \left( {ny} \right) \\
f\left( {\frac{{Ly}}{\pi }} \right) = \frac{{\sinh \left( {aL} \right)}}{{aL}} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{2aL\left( { - 1} \right)^n \sinh \left( {aL} \right)}}{{\left( {aL} \right)^2 + \left( {n\pi } \right)^2 }}} \cos \left( {ny} \right) + \pi \left[ {\frac{{2n\left( { - 1} \right)^{n + 1} \sinh \left( {aL} \right)}}{{\left( {aL} \right)^2 + \left( {n\pi } \right)^2 }}} \right]\sin \left( {ny} \right) \\
y = \frac{{x\pi }}{L} \\
f\left( x \right) = \frac{{\sinh \left( {aL} \right)}}{{aL}} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{2aL\left( { - 1} \right)^n \sinh \left( {aL} \right)}}{{\left( {aL} \right)^2 + \left( {n\pi } \right)^2 }}\cos \left( {\frac{{nx\pi }}{L}} \right) + \pi \left[ {\frac{{2n\left( { - 1} \right)^{n + 1} \sinh \left( {aL} \right)}}{{\left( {aL} \right)^2 + \left( {n\pi } \right)^2 }}} \right]\sin \left( {\frac{{nx\pi }}{L}} \right)} \\
\end{array}")
6 مشاركة
• صفحة 1 من 1
العودة إلى التفاضل والتكامل المتقدم والمعادلات التفاضلية
الموجودون الآن
المستخدمون المتصفحون لهذا المنتدى: لا يوجد أعضاء مسجلين متصلين و 1 زائر